Question

【題目】小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），可通過(guò)構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：P1P2= 他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式：x= ，y= ．

（1）請(qǐng)你幫小明寫(xiě)出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過(guò)程；
（2）①已知點(diǎn)M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長(zhǎng)度為；
②直接寫(xiě)出以點(diǎn)A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：；
（3）如圖3，點(diǎn)P（2，n）在函數(shù)y= x（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請(qǐng)?jiān)贠L、x軸上分別找出點(diǎn)E、F，使△PEF的周長(zhǎng)最小，簡(jiǎn)要敘述作圖方法，并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），

∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，

∴Q1Q= ，

∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，

∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線，

∴PQ= = ，

即線段P1P2的中點(diǎn)P（x，y）P的坐標(biāo)公式為x= ，y=

（2） ；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）
（3）

解：如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，連接PM交直線OL于點(diǎn)R，連接PN交x軸于點(diǎn)S，連接MN交直線OL于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，

又對(duì)稱(chēng)性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN，

∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，

∴此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)即為MN的長(zhǎng)，為最小，

設(shè)R（x， x），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，

∴ =2，解得x=﹣ （舍去）或x= ，

∴R（ ， ），

∴ =n，解得n=1，

∴P（2，1），

∴N（2，﹣1），

設(shè)M（x，y），則 = ， = ，解得x= ，y= ，

∴M（ ， ），

∴MN= = ，

即△PEF的周長(zhǎng)的最小值為

【解析】（2）①∵M(jìn)（2，﹣1），N（﹣3，5），
∴MN= = ，
所以答案是： ；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），
∴當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，其對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，
∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1），
當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），
所以答案是：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．