Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝DC，連接CF．

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先利用平行線的性質(zhì)得出△AEF≌△DEB，進(jìn)而得出D為BC的中點(diǎn)；

（2）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AD＝DC，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∵AF＝DC，

∴DB＝DC，即D是BC的中點(diǎn)；

（2）證明：∵AF∥DC，AF＝DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，DB＝DC，

∴AD＝BC＝DC，

∴四邊形ADCF是菱形．