Question

18、問題：你能比較2005²⁰⁰⁶和2006²⁰⁰⁵的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪為正整數），我們從n=1，n=2，n=3…這些簡單的情況入手，從中發(fā)現規(guī)律，經過歸納，猜出結論．
（1）通過計算，比較下列各組數字大小
①1²

＜

2¹  ②2³

＜

3² ③3⁴

＞

4³
④4⁵

＞

5⁴     ⑤5⁶

＞

6⁵      ⑥6⁷

＞

7⁶
…
（2）根據上面的歸納猜想得到的結論，試比較下列兩個數的大小  2005²⁰⁰⁶

＞

2006²⁰⁰⁵（填”＞”，”＜”，“=”）
（3）把第（1）題的結果經過歸納，你能得出什么結論？

Answer 1

分析：（1）根據乘方的意義，計算各個數，即可作出比較；
（2）根據（1）可以得到規(guī)律：相鄰的兩個正整數，其中一個作底數，另一個作指數，較小的數作底數所得的冪較大，據此即可直接比較；
（3）把（1）中得到的規(guī)律，中的相鄰的兩個數用n和n+1表示，即可得到．

解答：解：（1）通過計算，比較下列各組數字大小
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³
④4⁵＞5⁴⑤5⁶＞6⁵⑥6⁷＞7⁶
（2）根據上面的歸納猜想得到的結論，試比較下列兩個數的大小
2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵
（3）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n為大于2的整數）．

點評：本題考查了有理數的乘方，理解（1）中的數的底數與指數的關系，是解決本題的關鍵．