Question

已知方程組

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有兩個不相等的實數(shù)解，
（1）求k的取值范圍；  
（2）若方程組的兩個實數(shù)解為

x=x1 y=y1

 和

x=x2 y=y2

，求出使得x₁+x₁x₂+x₂=1的k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程組

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有兩個不相等的實數(shù)解，首先通過消元得到一個關于x或y的方程，然后利用判別式是正數(shù)即可求解；
（2）由于方程組有兩個不相等的實數(shù)解，一由此得到x₁，x₂是k²x²+（2k-2）x+1=0式的兩個根，然后利用根與系數(shù)的關系即可求解．

解答：解：（1）將②代入①整理，得k²x²+（2k-2）x+1=0（*）（2分），
∵方程組有兩個不相等的實數(shù)解，即（*）式有兩個不相等的根，
∴△＞0
由△=（2k-2）²-4k²＞0?k＜

1

2

，（2分）
又因為（*）式有兩個不相等的根，k≠0，
∴k＜

1

2

且k≠0（1分）；

（2）∵方程組有兩個不相等的實數(shù)解，
∴x₁，x₂是（*）式的兩個根，
∴有x1+x2=-

2k-2

k2

，x1•x2=

1

k2

（2分），
由題意得-

2k-2

k2

+

1

k2

=1（1分），
∴k=-3或k=1（1分）
∵k＜

1

2

，
∴k=1舍去，k=-3為所求．（1分）

點評：此題主要考查了二元二次方程組的解的討論及利用方程的解求代數(shù)式的值，首先利用判別式即可確定k值，然后利用根與系數(shù)的關系即可求出字母的值．