(2010•房山區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1y=-
3
x+6
3
交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)M(m,n)是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是線段OA的三等分點(diǎn).
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)連接CM,將△ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到△A′C′M.
①當(dāng)BM=
1
2
AM時(shí),連接A′C、AC′,若過原點(diǎn)O的直線l2將四邊形A′CAC′分成面積相等的兩個(gè)四邊形,確定此直線的解析式;
②過點(diǎn)A′作A′H⊥x軸于H,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為何值時(shí),由點(diǎn)A′、H、C、M構(gòu)成的四邊形為梯形?
分析:(1)根據(jù)線段OA的三等分點(diǎn)確定點(diǎn)C的坐標(biāo)即可;
(2)①過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N,利用相似三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)N的坐標(biāo),利用平行線的性質(zhì)及平行四邊形的對(duì)稱性確定點(diǎn)M的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可;
②根據(jù)點(diǎn)C1的坐標(biāo),分點(diǎn)H在C點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)H在C點(diǎn)右側(cè)兩種情況并利用四邊形A'C1HM是梯形求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.
解答:(1)根據(jù)題意:A(6,0),B(0,6
3

∵C是線段OA的三等分點(diǎn)
∴C(2,0)或C(4,0)

(2)①如圖,過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N,
則△BMN∽△BAO
∵BM=
1
2
AM
∴BM=
1
3
BA
∴BN=
1
3
BO
∴N(0,4
3

∵點(diǎn)M在直線y=-
3
x+6
3

∴M(2,4
3

∵△A'C'M是由△ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到的
∴A'C'∥AC
∴無論是C1、C2點(diǎn),四邊形A'CAC'是平行四邊形且M為對(duì)稱中心
∴所求的直線l2必過點(diǎn)M(2,4
3

∴直線l2的解析式為:y=2
3
x

②當(dāng)C1(2,0)時(shí),
第一種情況:H在C點(diǎn)左側(cè)
若四邊形A'HC1M是梯形
∵A'M與HC1不平行
∴A'H∥MC1此時(shí)M(2,4
3

第二種情況:H在C點(diǎn)右側(cè)
若四邊形A'C1HM是梯形
∵A'M與C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M(jìn)是線段AA'的中點(diǎn)
∴H是線段AC1的中點(diǎn)
∴H(4,0)
由OA=6,OB=6
3

∴∠OAB=60°
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5
∴M(5,
3

當(dāng)C2(4,0)時(shí),同理可得
第一種情況:H在C2點(diǎn)左側(cè)時(shí),M(4,2
3

第二種情況:H在C2點(diǎn)右側(cè)時(shí),M(
11
2
,
3
2

綜上所述,所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為:M(2,4
3
),M(5,
3
),M(4,2
3
)或M(
11
2
,
3
2
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì),題目中還滲透了相似及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度較大.
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表1   2009年我區(qū)消費(fèi)品市場吃、穿、用、燒類商品零售額的統(tǒng)計(jì)表(單位:億元)
各類商品 吃類商品 穿類商品 用類商品 燒類商品
2009年零售額 20.9 7.2 47.9 23.1
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)補(bǔ)全圖1;
(2)求2009年我區(qū)消費(fèi)品市場吃、穿、用、燒類商品零售額的平均數(shù);
(3)已知2009年“穿類商品”的零售額同比增長15%,若按照這個(gè)比例增長,估計(jì)2011年全年穿類商品的零售額可能達(dá)到多少億元?

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