Question

【題目】定義：對(duì)于線段和點(diǎn)，當(dāng)，且時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)為線段的“等距點(diǎn)”．特別地，當(dāng)，且時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)為線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）有4個(gè)點(diǎn)：，，，．線段的“等距點(diǎn)”是 ；其中線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”是 ．

（2）設(shè)第四象限有一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”．

①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)又為線段的“等距點(diǎn)”時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，；；（2）①或，②.

【解析】

（1）由定義可知，線段的“等距點(diǎn)”在線段OA的垂直平分線上，從而得出點(diǎn)，，都在直線x=上，再通過(guò)銳角三角函數(shù)判斷∠OBA=120°即可解答；

（2）①如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，作FK⊥y軸于點(diǎn)K，利用銳角三角函數(shù)得出∠HOF=∠OFK=30°，根據(jù)“強(qiáng)等距點(diǎn)”的概念得到點(diǎn)G在OH上或點(diǎn)G在KF上，再進(jìn)行分類(lèi)討論，利用勾股定理表達(dá)出OG=FG即可解答；

②由（1）可知，線段OA的“等距點(diǎn)”都在直線x=上，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則GQ=-t，OQ=，根據(jù)定義以及等腰三角形的性質(zhì)得到∠GOA=60°，利用tan∠GOA得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，結(jié)合OA∥GF即可確定m的值．

解：（1）由定義可知，線段的“等距點(diǎn)”在線段OA的垂直平分線上，

∵點(diǎn)A，

∴線段OA的垂直平分線為直線x=，

如圖所示，點(diǎn)，，都在直線x=上，

設(shè)直線x=交x軸于點(diǎn)Q，連接OB，AB，

∴OQ=，BQ=1，OB=OA，

∴tan∠OBQ=，

∴∠OBQ=60°，

∴∠OBA=2∠OBQ=120°，

∴點(diǎn)是線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，

連接OC，AC，OD，AD，

由圖可知，∠OCA＜∠OBA=120°，∠ODA＜∠OBA=120°，

∴，，是線段的“等距點(diǎn)”，

故答案為：B，C，D；B；

（2）①當(dāng)時(shí)，，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，作FK⊥y軸于點(diǎn)K，

則FH=2，OH=FK=，

∵tan∠HOF=，

∴∠HOF=30°，

∵OH∥FK，

∴∠HOF=∠OFK=30°，

∵點(diǎn)是線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，

∴∠OGF=120°且OG=FG，

∴∠GOF=∠GFO=30°，

∴點(diǎn)G在OH上或點(diǎn)G在KF上，

（i）當(dāng)點(diǎn)G在OH上時(shí)，設(shè)點(diǎn)G（a,0）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴G，

（ii）當(dāng)點(diǎn)G在FK上時(shí)，設(shè)點(diǎn)G（b,-2）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴

綜上所述，或

②由①可知，點(diǎn)G在x軸上或直線y=上，

由（1）可知，線段OA的“等距點(diǎn)”都在直線x=上，

∴設(shè)點(diǎn)G（,t），且t≥1或t≤-1，

∴點(diǎn)G在第四象限，

如下圖所示，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則GQ=-t，OQ=，

∵點(diǎn)是線段的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，

∴∠OGF=120°，OG=FG，

∴∠OGF=∠OFG=30°，

由①可知，∠AOF=30°，

∴OA∥GF，∠GOA=60°，

∴tan∠GOA=，

∴t=-3，

∴，

解得．