如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE,點F落在AD上.

(1)求證：△ABF∽△DFE
(2)若△BEF也與△ABF相似，請求出的值 .

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：（1）在△ABF與△DFE中的對應角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易證△ABF∽△DFE；
（2）需要分類討論：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB時求出的值．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°.
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE=∠C="90°." ∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°.
又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE�！唷鰽BE∽△DFE.
（2）①當△ABF∽△FBE時，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，∴∠2=∠4=∠5=30°.
∴設CE=EF=x，則BC=x，DE=x. ∴DC=x. ∴.
②當△ABF∽△FEB時，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，∴∠2+∠4=90°，這與∠2+∠4+∠5=90°相矛盾. ∴△ABF∽△FEB不成立．
綜上所述，的值是.

考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.矩形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.解直角三角形；5.分類思想的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AC⊥BC．

（1）求證:△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm,AC=6cm,求梯形ABCD中位線的長度．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知：如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接BC．

（1）線段BC、BE、AB應滿足的數(shù)量關系是      ；
（2）若點P是優(yōu)弧上一點（不與點C、A、D重合），連接BP與CD交于點G.
請完成下面四個任務：
①根據(jù)已知畫出完整圖形，并標出相應字母；
②在正確完成①的基礎上，猜想線段BC、BG、BP應滿足的數(shù)量關系是       ；
③證明你在②中的猜想是正確的；
④點P′恰恰是你選擇的點P關于直徑AB的對稱點，那么按照要求畫出圖形后在②中的猜想仍然正確嗎？    ；（填正確或者不正確，不需證明）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，，點P從B點出發(fā)，沿BC方向以2cm/m的速度移動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/m的速度移動。若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，經(jīng)過多少時間△CPQ與△CBA相似？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知：正方形ABCD的邊長為1，射線AE與射線BC交于點E，射線AF與射線CD交于點F，∠EAF=45°.
（1）如圖1，當點E在線段BC上時，試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的猜想.

（2）設BE=x，DF=y，當點E在線段BC上運動時（不包括點B、C），如圖1，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍.
（3）當點E在射線BC上運動時（不含端點B），點F在射線CD上運動.試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關系.
（4）當點E在BC延長線上時，設AE與CD交于點G，如圖2.問⊿EGF與⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，請說明理由.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=DC，連結并延長交的延長線于點

（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD邊上的一點，CE=5，M是BC邊上的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連結PM.設動點P的運動時間是t秒.

（1）求線段AE的長；
（2）當△ADE與△PBM相似時，求t的值；
（3）如圖2，連接EP，過點P作PH⊥AE于H．①當EP平分四邊形PMEH的面積時，求t的值；②以PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當線段B′C′與線段AE有公共點時，寫出t的取值范圍（直接寫出答案）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013年四川綿陽14分）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值．

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