Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B （-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CNP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖②，若點(diǎn)E為第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B （-3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁時(shí)，
作P₁H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，從而求出P1的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接BE、CE，作EG⊥OB于點(diǎn)G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點(diǎn)式就可以求出其面積的最大值．

解答：解：（1）如圖①，
∵y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B （-3，0），
∴

0=a+b-3 0=9a-3b-3

，
解得

a=1 b=2

，
∴y=x²+2x-3．

（2）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴N（-1，0），
∴ON=1．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3）
∴OC=3．
∴在Rt△CON中由勾股定理，得
CN=

10

當(dāng)P₁N=P₁C時(shí)，△P₁NC是等腰三角形，作P₁H⊥CN，
∴NH=

10

2

，△P₁HN∽△NOC，
∴

NH

OC

=

NP1

CN

，
∴

10 2

3

=

NP1

10

，
∴NP₁=

5

3

，
∴P₁（-1，

5

3

）
當(dāng)P₄N=CN時(shí)，P₄N=

10

，
∴P₄（-1，

10

），
當(dāng)P₂N=CN時(shí)，P₂N=

10

，
∴P₂（-1，-

10

），
當(dāng)P₃C=CN時(shí)，P₃N=6，
∴P₃（-1，-6）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，

10

）、（-1，-

10

）、（-1，-6）和（-1，-

5

3

）；                    

（3）設(shè)E（x，x²+2x-3 ），連接BE、CE，作EG⊥OB于點(diǎn)G，
∴GO=-x，BG=x+3，GE=-x²-2x+3，
∴S=

(x+3)(-x2-2x+3 )

2

+

-x(3-x2-2x+3)

2

S=-

3

2

（x+

3

2

）²+

63

8

∴x=-

3

2

，S=

63

8

，
∴E（-

3

2

，-

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值及四邊形的面積的計(jì)算．