【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA=2,OC=3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D(2,2)是拋物線上一點,那么在拋物線的對稱軸上,是否存在一點P,使得△BDP的周長最小,若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)連接AD并延長,過拋物線上一點Q(Q不與A重合)作QN⊥x軸,垂足為N,與射線交于點M,使得QM=3MN,若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)存在,理由見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)點A、C的坐標分別為:(-2,0)、(0,3),將點A、C的坐標代入拋物線表達式,即可求解;
(2)作點D關(guān)于對稱軸的對稱軸D′(-1,2),連接BD′交拋物線對稱軸與點P,則點P為所求,即可求解;
(3)QM=|-m2+m+3-m-1|=|-m2+2|,3MN=3(m+1),QM=3MN,即|-m2+2|=3(m+1),即可求解.
解:(1)點A、C的坐標分別為:(﹣2,0)、(0,3),
將點A、C的坐標代入拋物線表達式得:,解得:,
故拋物線的表達式為:y=﹣x2+x+3;
(2)存在,理由:
作點D關(guān)于對稱軸的對稱軸D′(﹣1,2),連接BD′交拋物線對稱軸與點P,則點P為所求,
將點B、D′的坐標代入一次函數(shù)表達式:y=kx+b并解得:
直線BD′的函數(shù)表達式為:y=﹣x+,
拋物線的對稱軸為:x=,當x=時,y=,
故點P(,);
(3)設點N(m,0),則點M、Q的坐標分別為:(m,m+1)、(m,﹣m2+m+3),
則QM=|﹣m2+m+3﹣m﹣1|=|﹣m2+2|,
3MN=3(m+1),
∵QM=3MN,即|﹣m2+2|=3(m+1),
解得:m=﹣2或﹣1或5,
故點Q(﹣2,3)或(﹣1,2)或(5,﹣7).
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【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,E是AB的中點,過點E作AC和BC的垂線,垂足分別為點D和點F,四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動,點C與點A重合時停止運動,設運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與△ABC的重疊部分面積為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( 。
A.B.C.D.
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【題目】某超市計劃購進甲、乙兩種商品,兩種商品的進價、售價如下表:
商品 | 甲 | 乙 |
進價(元/件) | ||
售價(元/件) | 200 | 100 |
若用360元購進甲種商品的件數(shù)與用180元購進乙種商品的件數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種商品的進價是多少元?
(2)若超市銷售甲、乙兩種商品共50件,其中銷售甲種商品為件(),設銷售完50件甲、乙兩種商品的總利潤為元,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最小值.
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【題目】如圖,直線y1=3x﹣5與反比例函數(shù)y2=的圖象相交A(2,m),B(n,﹣6)兩點,連接OA,OB.
(1)求k和n的值;
(2)求△AOB的面積;
(3)直接寫出y1> y2時自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,連接BD,點E為CB邊的延長線上一點,點F是線段AE的中點,過點F作AE的垂線交BD于點M,連接ME、MC.
(1)根據(jù)題意補全圖形,猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明;
(2)連接FB,判斷FB 、FM之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
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【題目】如圖,函數(shù)y=x(x≥0)的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點A,若點A繞點B(,0)順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到的點A'仍在y=的圖象上,則點A的坐標為_____.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,點P從A點開始沿AB邊向B點以1cm/s的速度移動,點Q從B點開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動,若點P、Q分別從點A、B同時出發(fā),問過多少秒后,△PBQ的面積分別為8cm2和10cm2?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是菱形,點A的坐標為(0,),分別以A,B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧交于E,F兩點,直線EF恰好經(jīng)過點D,交AB于點H,則四邊形HBCD的周長為( )
A.B.6C.D.
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【題目】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,點E為AD邊上的一個動點(與點A、D不重合),∠EBM=45°,BE交對角線AC于點F,BM交對角線AC于點G、交CD于點M.
(1)如圖1,聯(lián)結(jié)BD,求證:,并寫出的值;
(2)聯(lián)結(jié)EG,如圖2,若設,求y關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)當M為邊DC的三等分點時,求的面積.
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