Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）

（1）求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)M是拋物線在第一象限內(nèi)圖像上的任意一點(diǎn)，求當(dāng)BCM的面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）m=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）點(diǎn)P（1，2）；（3）

【解析】

（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）代入解析式中，即可求得m的值，然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，先連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過M點(diǎn)作MD⊥x軸交BC與點(diǎn)D，利用M、D所在的圖像設(shè)出坐標(biāo)，再利用“鉛垂高水平寬”求出面積與坐標(biāo)的關(guān)系，最后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值即可.

解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）代入解析式中得：

解得：m=2

故拋物線的解析式為：

頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為：，代入解析式中得y=4

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）；

（2）∵根據(jù)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱

∴連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PC的值最小，

將x=0代入到中，得：

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

將B、C的坐標(biāo)分別代入得：

解得：

所以直線BC的解析式為：y=-x+3

將x=1代入到y(tǒng)=-x+3得：y=2

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）

（3）過M點(diǎn)作MD⊥x軸交BC與點(diǎn)D，設(shè)M的坐標(biāo)為，D的坐標(biāo)為，C到MD的距離為h1，B到MD的距離為h2，由圖可知h1+ h2=OB=3

∴MD=

∴SBCM=SDCM+SBDM=

∵

∴當(dāng)時(shí)，SBCM有最大值，

將代入中，得：，

故當(dāng)BCM的面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：