精英家教網(wǎng)已知,如圖所示,拋物線c1:y=ax2+bx+c的頂點A在x軸的正半軸上,并與y軸交于點B,OA=
3
,AB=2
3
,拋物線c2與拋物線c1關(guān)于y軸對稱.
(1)求拋物線c1的函數(shù)解析式,并直接寫出拋物線c2的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)l是拋物線c2的對稱軸,P是l上的一點,求當(dāng)△PAB的周長最小時點P的坐標(biāo);
(3)在拋物線c1上是否存在點D,過點D作DC⊥AB于C,使得△DCB與△AOB相似?如果存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
分析:(1)在Rt△OAB中OA=
3
,AB=2
3
,求得OB的長,從而根據(jù)OA,OB得到點A,D坐標(biāo),點A坐標(biāo)即為其頂點坐標(biāo),從而得到C1,C2C1關(guān)于原點對稱,從而得到C2的頂點坐標(biāo),即其對稱軸,從而得到C2解析式.
(2)作BB′∥x軸交C2于點B′則點B′即為點B關(guān)于l的對稱點,連接AB′交l于點P即為所求點.先求得直線AB′,代入對稱軸l的x值,從而進一步求得點P.
(3)設(shè)點設(shè)點D(x,(x-
3
)
2
),求得BD,求得直線AB,求得點D到直線AB的距離,若△DCB與△AOB相似,則
BD
AB
=
CD
OB
BD
AB
=
CD
OA
,代入求得的等式是否是否符合,符合則點D存在.
解答:解:(1)∵在Rt△OAB中OA=
3
,AB=2
3
,
∴OB=
AB2-OA2
=3
,
∴點A(
3
,0),點B(0,3).
則由
3a+
3
b+c=0
c=3
-
b
2a
3

解得:a=1,b=-2
3
,c=3,
∴C1的解析式為:y=x2-2
3
x+3=(x-
3
)
2

則點A關(guān)于y軸的對稱點為(-
3
,0),
相當(dāng)于C1向左平移了2
3
個單位,
∴C2的解析式為:y=(x+
3
)
2
;

(2)作BB′∥x軸交C2于點B′則點B′即為點B關(guān)于l的對稱點,連接AB′交l于點P即為所求點.
此時AB′即為△APB所形成三角形的最小周長.兩點之間線段最短.精英家教網(wǎng)
∵點A(
3
,0),點B(0,3),
∴E(-
3
,0),
∴B′(-2
3
,3),
則設(shè)直線AB′為y=kx+b,代入A,B′得:
0=
3
k+b
3=-2
3
k+b

解得:k=-
3
3
,b=1,
∴直線AB′解析式為:y=-
3
3
x+1
,
代入對稱軸x=-
3
,則y=2,
∴點P(-
3
,2
);

(3)如圖:存在,精英家教網(wǎng)
知道點A,B設(shè)直線AB為y=mx+n,
代入解得:y=-
3
x+3,即y+
3
x-3=0
,
設(shè)點D(x,(x-
3
)
2
),則BD=
2x2-2
3
x-6
,
則點D到直線的距離CD.
知道OA=
3
,OB=3,AB=2
3
,
若△DCB與△AOB相似,則
BD
AB
=
CD
OB
BD
AB
=
CD
OA
,
代入
BD
AB
=
CD
OB
,
則點D(1,4-2
3
),
檢驗點D符合,
代入
BD
AB
=
CD
OA
,
則點D(3,12-6
3
),
檢驗符合,
∴點D(1,4-2
3
)或(3,12-6
3
).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用,涉及到知道拋物線上的點求其解析式,求拋物線的對稱軸,以及拋物線的平移.
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