Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）判斷的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的周長最小時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）為直角三角形；（3）

【解析】

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b的值，可求得拋物線的解析式，再求D點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）由解析式可求得A、B、C的坐標(biāo)，可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可判定△ABC為直角三角形；

（3）先求得C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE，與軸交于點(diǎn)M，則M即為所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得m．

解：（1）∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，解得，

∴ 拋物線解析式為，

∵ ，

∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）為直角三角形，證明如下：

在中，令可得，解得或，

∴ 為，且為，

∴ ，，，

由勾股定理可求得，，

又，

∴ ，

∴ 為直角三角形；

（3）∵ ，

∴ 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

如圖，連接，交軸于點(diǎn)，則即為滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)直線解析式為，

把、坐標(biāo)代入可得，解得，

∴ 直線解析式為，令，可得，

∴ ．