Question

已知等邊三角形AOB的邊長為32，以AB邊上的高OA₁為邊按順時針方向做等邊三角形OA₂B₂，與OB相交于A₂，如圖，按此做法進行下去．
（1）求線段OA₁，OA₂的長度；
（2）寫出OA₃，OA₄，OA₅的長，你能用一句話或一個等式描述各三角形邊長之間的關(guān)系嗎？
（3）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求△OA₆B₆的周長和面積．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形AOB的邊長為32，以AB邊上的高OA₁為邊按順時針方向做等邊三角形OA₂B₂，與OB相交于A₂，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求得OA₁的長，同理可求得OA₂的長度；
（2）由（1）可求得OA₃，OA₄，OA₅的長，即可得到規(guī)律：邊長的關(guān)系OA_n=

3

2

OA_n-1；
（3）由規(guī)律，可求得OA₆的長，則可求得△OA₆B₆的周長，繼而求得OA₇的長，則可求得△OA₆B₆的面積．

解答：解：（1）∵△AOB是等邊三角形，OA₁為高，
∴∠A=60°，AA₁=

1

2

AB=16，
∴OA₁=

OA2-AA12

=16

3

；
同理：OA₂=24；

（2）同理：OA₃=12

3

，OA₄=18，OA₅=9

3

；
∴邊長的關(guān)系OA_n=

3

2

OA_n-1；

（3）∵OA₆=

3

2

OA₅=

27

2

，
∴周長：

81

2

；
∵OA₇=

3

2

OA₆=

27 3

4

，
∴面積：

1

2

×

27

2

×

27 3

4

=

729 3

16

．

點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：邊長的關(guān)系OA_n=

3

2

OA_n-1是解此題的關(guān)鍵．