Question

如圖，已知正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象與反比例函致y=

k

x

（k≠0）的圖象的一個交點為A（-1，2-k²），另一個交點為B，且A、B關于原點O對稱，D為OB的中點，過點D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E．
（1）寫出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
（2）試計算△COE的面積是△ODE面積的多少倍？

Answer 1

分析：（1）把A的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可得到關于k的方程，從而求得k的值．得到反比例函數(shù)解析式以及A的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得正比例函數(shù)解析式；
（2）證明△COE與△ODE相似，求得相似比，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解．

解答：解：（1）由圖知k＞0，a＞0，
∵點A（-1，2-k²）在y=

k

x

圖象上，
∴2-k²=-k，即k²-k-2=0，解得k=2（k=-1舍去），
得反比例函數(shù)為y=

2

x

．
此時A（-1，-2），代入y=ax，解得a=2，
∴正比例函數(shù)為y=2x．

（2）過點B作BF⊥x軸于F．
∵A（-1，-2）與B關于原點對稱，
∴B（1，2），即OF=1，BF=2，得OB=

5

．
由圖，易知Rt△OBF∽Rt△OCD，
∴OB：OC=OF：OD，而OD=

OB

2

=

5

2

∴OC=

OB•OD

OF

=2.5．
由Rt△COE∽Rt△ODE，
得

S△COE

S△ODE

=(

OC

OD

)2=(

5

2

×

2

5

)2=5．
所以△COE的面積是△ODE面積的5倍．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并且運用了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．