已知:如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交⊙O于點E,且EM>MC.連接DE,DE=
15

(1)求證:AM•MB=EM•MC;
(2)求sin∠EOB的值;
(3)若P是直徑AB延長線上的點,且BP=12,求證:直線PE是⊙O的切線.
分析:(1)連接AE,BC,由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再根據(jù)對頂角相等,利用兩對應(yīng)角相等的兩三角形相似,得到三角形AEM與三角形CBM相似,由相似得比例,化簡后即可得證;
(2)根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出CE的長,再由相交弦定理求出EM的長,根據(jù)所求EM的長與半徑相等判斷出△OEM為等腰三角形,過E作EF⊥OM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OF,EF的長,進而求出sin∠EOB的值;
(3)由EO=EM,EF垂直于OM,得到F為OM的中點,由M為OB中點,求出OM的長,可得出OF的長,由OB+BP=OP,得出OP的長,利用OP-OF求出FP的長,再由EF的長,利用勾股定理求出EP的長,在三角形OEP中,再利用勾股定理的逆定理判斷出三角形OEP為直角三角形,可得∠OEP為直角,即EP垂直于OE,可得EP為圓O的切線.
解答:
解:(1)連接AE,BC,
∵∠AEC與∠MBC都為
AC
所對的圓周角,
∴∠AEC=∠MBC,又∠AME=∠BMC(對頂角相等),
∴△AME∽△CMB,
∴AM:CM=EM:MB,即AM•MB=EM•MC;
(2)如圖,∵DC為⊙O的直徑,
∴DE⊥EC,
∵DC=8,DE=
15
,
∴EC=
DC2-DE2
=
64-15
=7,
設(shè)EM=x,由于M為OB的中點,
∴BM=2,AM=6,
∴AM•MB=x•(7-x),即6×2=x(7-x),
整理得:x2-7x+12=0,
解得:x1=3,x2=4,
∵EM>MC,∴EM=4,
∵OE=EM=4,
∴△OEM為等腰三角形,
過E作EF⊥OM,垂足為F,則OF=
1
2
OM=1,
∴EF=
OE2-OF2
=
16-1
=
15
,
∴sin∠EOB=
15
4
;
(3)在Rt△EFP中,EF=
15
,PF=FB+BP=3+12=15,
根據(jù)勾股定理得:EP=
EF2+FP2
=
240
=4
15
,
又OE=4,OP=OB+BP=4+12=16,
∴OE2+EP2=16+240=256,OP2=256,
∴OE2+EP2=OP2,
∴∠OEP=90°,
則EP為圓O的切線.
點評:此題考查了切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理及逆定理,圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,其中證明切線的方法有兩種:有點連接此點與圓心證直線與半徑垂直;無點作垂線證明垂線段等于半徑.
練習(xí)冊系列答案
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15

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AM
EM
=
MC
MB
;
(2)求EM的長;
(3)求sin∠EOB的值.

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