Question

如圖，已知直線y=

3

4

x，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)D為x軸上位于點(diǎn)A右邊的某一點(diǎn)，點(diǎn)B為直線y=

3

4

x上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A、B、D為頂點(diǎn)作正方形．
（1）若圖①僅看作符合條件的一種情況，求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在圖①中，若點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線y=

3

4

x從點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)B，與此同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿著折線A-B-C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試探究：在移動(dòng)過程中，△PAQ的面積關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）分情況探討：點(diǎn)D在x軸上，為正方形的一邊或?yàn)檎�方形的�?duì)角線；
（2）因?yàn)锳B之間的距離是

32+42

=5，從點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間最大為5秒，結(jié)合Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿著折線A-B-C移動(dòng)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合；點(diǎn)B隨著點(diǎn)P的停止而停止；確定t的取值范圍，利用面積得出二次函數(shù)解決問題．

解答：解：（1）如圖，



點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為（7，0）或（16，0）或（28，0）；
（2）①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．
AQ=OP=t，OE=

4

5

t，AE=4-

4

5

t．
S_△APQ=

1

2

AQ•AE=

1

2

t（4-

4

5

t）=

1

2

（t-

5

2

）²+

5

2

 
 當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S_△APQ的最大值為

5

2

．
②當(dāng)3＜t≤5時(shí)，如圖，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．
OP=t，PE=

3

5

t，OE=

4

5

t，AE=4-

4

5

t．
QF=3，AF=BQ=t-3，EF=AE+AF=1+

1

5

t
S_△APQ=S _梯形PEFQ-S_△PEA-S_△QFA
sAPQ=

3

10

t2-

21

10

t+6，由于對(duì)稱軸為直線x=

7

2

，故當(dāng)x=5時(shí)，S_△APQ的最大值為3．
綜上所述，S_△APQ的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)最值問題，并滲透分類討論思想．