Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑點(diǎn)F、C是半圓弧ABC上的三等份點(diǎn)，連接AC，AF，過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，確定出OC與AD平行，由CD與AD垂直，得到CD與OC垂直，即可得證；

（2）連接OF，利用等弧所對(duì)的圓心角相等及平角定義求出∠OCB的度數(shù)，在直角三角形OCE中，求出CE的長(zhǎng)，利用角平分線性質(zhì)得到CD=CE，即可求出CD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵，

∴∠DAC=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

則CD為圓O的切線；

（2）連接OF，過C作CE⊥AB，

∵，

∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，

在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，

∴CE=2，

∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，

∴CD=CE=2．