Question

（2013•平頂山二模）已知正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為P點(diǎn)，已知△OAP的面積為

1

2

．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)M，使MA+MB最小．

Answer 1

分析：反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)向橫軸和縱軸做垂線，垂線段和橫縱軸所圍成矩形的面積即為k的絕對(duì)值，由圖象分布的象限可求得K的值，由解析式可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式．
（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則OP=x，PA=y，根據(jù)△OAP的面積為

1

2

可得xy=1，再由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，可知k=xy=1，即可得到反比例函數(shù)關(guān)系式；
（2）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于M點(diǎn)，這時(shí)MA+MB最�。�首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用函數(shù)關(guān)系式算出A、A′的坐標(biāo)，再利用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法算出直線AB的函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)解析式求出M點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）由題意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=

1

2

xy=

1

2

，
∴xy=1，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=xy=1，
∴y=

1

x

；

（2）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于M點(diǎn)，這時(shí)MA+MB最�。�
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是y=

1

1

=1，
∴B（1，1），
∵A點(diǎn)是正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象交點(diǎn)，
∴2x=

1

x

，
解得x=±

2

2

，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

2

2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（

2

2

，

2

），
∴點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（

2

2

，-

2

），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：

k+b=1 2 2 k+b=- 2

，
解之得

k=4+3 2 b=-3-3 2

，
∴直線AB的解析式為y=（4+3

2

）x-3-3

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

3+3 2

4+3 2

=

6-3 2

2

，
故M（

6-3 2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解決此題的難點(diǎn)是確定M點(diǎn)的位置，在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．