【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB=CD.
(1)如圖(1),求證:AD∥BC;
(2)如圖(2),點F是AC的中點,弦DG∥AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF;
(3)在(2)的條件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半徑。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接AC.由弦相等得到弧相等,進一步得到圓周角相等,即可得出結論.
(2)延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形,從而有AD=BE,DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠NDC=∠B.即可證明ΔABE≌ΔCND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結論.
(3)連接BG,過點A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四邊形ABED是平行四邊形,得到AB=DE.再證明ΔCDE是等邊三角形,ΔBGE是等邊三角形,通過解三角形ABE,得到AB,HB, AH,HE的長,由EC=DE=AB,得到HC的長.在Rt△AHC中,由勾股定理求出AC的長.
作直徑AP,連接CP,通過解△APC即可得出結論.
試題解析:解:(1)連接AC.∵AB=CD,∴弧AB=弧CD,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC.
(2)延長AD到N,使DN=AD,連接NC.∵AD∥BC,DG∥AB,∴四邊形ABED是平行四邊形,∴AD=BE,∴DN=BE.∵ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠NDC=∠B.∵AB=CD,∴ΔABE≌ΔCND,∴AE=CN.∵DN=AD,AF=FC,∴DF=CN,∴AE=2DF.
(3)連接BG,過點A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四邊形ABED是平行四邊形,∴AB=DE.
∵DF∥CN,∴∠ADF=∠ANC,∴∠AEB=∠ADF,∴tan∠AEB= tan∠ADF=,DG平分∠ADC,∴∠ADG=∠CDG.∵AD∥BC,∴∠ADG=∠CED,∠NDC=∠DCE.∵∠ABC=∠NDC,∴∠ABC=∠DCE.∵AB∥DG,∴∠ABC=∠DEC,∴∠DEC=∠ECD=∠EDC,∴ΔCDE是等邊三角形,∴AB=DE=CE.∵∠GBC=∠GDC=60°,∠G=∠DCB=60°,∴ΔBGE是等邊三角形,BE= GE=.∵tan∠AEB= tan∠ADF=,設HE=x,則AH= .∵∠ABE=∠DEC=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=4x,AB=8x,∴4x+x=,解得:x=,∴AB=8,HB=4, AH=12,EC=DE=AB=,∴HC=HE+EC==.在Rt△AHC中,AC==.
作直徑AP,連接CP,∴∠ACP=90°,∠P=∠ABC=60°,∴sin∠P=,∴,∴⊙O的半徑是.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小新家、小華家和書店依次在東風大街同一側(忽略三者與東風大街的距離).小新小華兩人同時各自從家出發(fā)沿東風大街勻速步行到書店買書,已知小新到達書店用了20分鐘,小華的步行速度是40米/分,設小新、小華離小華家的距離分別為y1(米)、y2(米),兩人離家后步行的時間為x(分),y1與x的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象解決下列問題:
(1)小新的速度為_____米/分,a=_____;并在圖中畫出y2與x的函數(shù)圖象
(2)求小新路過小華家后,y1與x之間的函數(shù)關系式.
(3)直接寫出兩人離小華家的距離相等時x的值.
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【題目】深圳市某校藝術節(jié)期間,開展了“好聲音”歌唱比賽,在初賽中,學生處對初賽成績做了統(tǒng)計分析,繪制成如下頻數(shù)、頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖(如圖),請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
74.5≤x<79.5 | 2 | 0.04 |
79.5≤x<84.5 | a | 0.16 |
84.5≤x<89.5 | 20 | 0.40 |
89.5≤x<94.5 | 16 | 0.32 |
94.5≤x<100.5 | 4 | b |
合計 | 50 | 1 |
(1)頻數(shù)、頻率分布表中a= ,b= ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)初賽成績在94.5≤x<100.5分的四位同學恰好是七年級、八年級各一位,九年級兩位,學生處打算從中隨機挑選兩位同學談一下決賽前的訓練,則所選兩位同學恰好都是九年級學生的概率為 .
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后,BC的對應邊B'C'交CD邊于點G.連接BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,則
=__(結果保留根號).
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,
(1)請你利用直尺和圓規(guī)完成如下操作:
①作△ABC的角平分線AD;
②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AD相交于點P;
③連接PB,PC.
請你觀察圖形解答下列問題:
(2)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系是 ;請說明理由.
(3)若∠ABC=70°,求∠BPC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2011內(nèi)蒙古赤峰,7,3分)早晨,小張去公園晨練,下圖是他離家的距離y(千
米)與時間t(分鐘)的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象信息,下列說法正確的是 ( )
A.小張去時所用的時間多于回家所用的時間B.小張在公園鍛煉了20分鐘
C.小張去時的速度大于回家的速度 D.小張去時走上坡路,回家時走下坡路
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【題目】如圖,直線y=x+3與坐標軸分別交于A,B兩點,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,B,頂點為C,連接CB并延長交x軸于點E,點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱.
(1)求拋物線的解析式及頂點C的坐標;
(2)求證:四邊形ABCD是直角梯形.
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【題目】如圖①,四邊形ABCD為正方形,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=45°,易證:AE+CF=EF(不用證明).
(1)如圖②,在四邊形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=∠BCD=90°,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=60°.猜想AE,CF與EF之間的數(shù)量關系,并證明你的猜想;
(2)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB與∠BCD互補,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=α,請直接寫出AE,CF與EF之間的數(shù)量關系,不用證明.
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【題目】長方形ABCD中,AB=6,AD=8,點E為邊AD上一點,將△ABE沿BE折疊后得到△BEF.
(1)如圖1,若點E為AD的中點,延長BF交邊CD于點G.
①求證:DG=FG.
②求FG的長度.
(2)如圖2,若點E為邊AD的一動點,連接FD,△DEF能否為直角三角形?若能,求出AE的值.若不能,請說明理由.
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