Question

【題目】如圖，點在矩形的邊上，，，連接，線段繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段，以線段為直徑做．

（1）請說明點一定在上的理由，

（2）①點在上，為的直徑，求證：點到的距離等于線段的長．

②當(dāng)面積取得最大值時，求半徑的長．

（3）當(dāng)與矩形的邊相切時，計算扇形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析，②；（3）

【解析】

（1）由CE=CF且∠ECF=90°，O為EF中點，可知OC=OE=OF=，即E，F，C三點共圓；

（2）①作MN⊥AD交AD于點N，連MC，MF，AC，由為的直徑，且四邊形ABCD為矩形可證得∠DCE=∠MEN，由CM為直徑，可得，由（1）知∠FEC=45°，則可得∠MEO=45°，則易知∠EMO=45°，可得MC⊥EF，可證得四邊形ECFN為正方形，所以EC=EM，可證△MEN≌△ECD，即MN=ED，證得M到AD的距離等于ED的長；

②設(shè)AE=x，則，，，即當(dāng)x=3時，△AME面積有最大值為，由可知，即，而，由，求得，即的半徑為；

（3）與矩形的邊相切時，點O與點D重合，CO=MO為直徑，且長為4，則可求得．

解：（1）依題意可知，CE=CF且∠ECF=90°，O為EF中點，

∴OC=OE=OF=，

∴點E，F，C三點在上；

（2）①作MN⊥AD交AD于點N，連MC，MF，AC，

∵為的直徑，

∴∠DEC+∠DEM=90°，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠DEC+∠DCE=90°

∴∠DCE=∠MEN，

∵CM為直徑，

∴，

由（1）知∠FEC=45°，

∴∠MEO=45°，

∵OM=OE，

∴∠EMO=45°，

∴MC⊥EF，

∴四邊形ECFN為正方形，

∴EC=EM，

在△MEN和△ECD中，

，

所以△MEN≌△ECD，

∴MN=ED，

∴M到AD的距離等于ED的長；

②設(shè)AE=x，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴當(dāng)x=3時，△AME面積有最大值為，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

即的半徑為；

（3）與矩形的邊相切時，點O與點D重合CO，MO為直徑，長為4，

∴．