Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．求：

（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+BM的最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（4）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M（2，1）．（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．

【解析】

試題分析：（1）將x=0代入直線的解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將y=0代入直線的解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、k的方程組，求得a、k的值，從而可求得拋物線的解析式；

（3）先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，從而可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知AM+BM=BM+MC，當(dāng)點(diǎn)B、M、C在一條直線上時(shí)，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，從而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），然后分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列方程求解即可．

解：（1）∵將x=0代入直線的解析式得：y=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．

∵將y=0代入直線的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：，

解得：a=1，k=﹣1．

拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（3）如圖所示：連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接AM．

∵由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于x=2對(duì)稱，

∴AN=MC．

∴AM+BM=BM+MC．

∵當(dāng)點(diǎn)B、M、C在一條直線上時(shí)，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值為BC的長(zhǎng)．

∴AM+BM的最小值==3．

∵MD∥OB，

∴△CDM∽△COB．

∴，即．

解得：MD=1．

∴M（2，1）．

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m）．

①當(dāng)PA=PB時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：6m=12．

解得：m=2．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

②當(dāng)AP=AB時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．

整理得：m2=9．

解得：m=3或m=﹣3（舍去）．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．

③當(dāng)BA=BP時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．

整理得：（m﹣3）2=6．

解得：m=3+或m=3﹣．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3+）或（2，3﹣）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．