Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊中，BC∥軸，且BC=，頂點A在拋物線上運動．

（1）當(dāng)頂點A運動至與原點重合時，頂點C是否在該拋物線上？
（2）在運動過程中有可能被軸分成兩部分，當(dāng)上下兩部分的面積之比為1:8（即）時，求頂點A的坐標(biāo)；
（3）在運動過程中，當(dāng)頂點B落在坐標(biāo)軸上時，直接寫出頂點C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）在；（2）或；（3）、、

試題分析：（1）當(dāng)頂點A運動至與原點重合時，設(shè)BC與y軸交于點D，由BC∥x軸，BC=AC=，可得，，即可得到C點的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式即可作出判斷；
（2）過點A作于點D，設(shè)點A的坐標(biāo)為（，）．由根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得的長，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)的特征結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（1）當(dāng)頂點A運動至與原點重合時，設(shè)BC與y軸交于點D
∵BC∥x軸，BC=AC=，
∴，．
∴C點的坐標(biāo)為．
∵當(dāng)時，．
∴當(dāng)頂點A運動至與原點重合時，頂點C在拋物線上；
（2）過點A作于點D，

設(shè)點A的坐標(biāo)為（，）．
∵，
∴
∵等邊的邊長為，
∴．
∴．
∴，解得．
∴頂點A的坐標(biāo)為或；
（3）當(dāng)頂點B落在坐標(biāo)軸上時，頂點C的坐標(biāo)為、、．
點評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.