Question

如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；
②試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為y=x²﹣1。
（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m²﹣1），
則。
∵直線l過(guò)點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2。
∴AM=m²﹣1﹣（﹣2）=m²+1。
∴AO=AM。
（3）①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。
②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x₁， x₁²﹣1），B（x₂， x₂²﹣1），
則。
聯(lián)立，消掉y得，x²﹣4kx﹣4=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=4k，x₁•x₂=﹣4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁•x₂=16k²+8，x₁²•x₂²=16。
∴。
∴無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)1。

試題分析：（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。
（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長(zhǎng)，即可得證。
（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入計(jì)算即可得解；
②設(shè)點(diǎn)A（x₁， x₁²﹣1），B（x₂， x₂²﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，x₁•₂，并求出x₁²+x₂²，x₁²•x₂²，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解。