Question

17．如圖1，若直線y=2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到△COD，過(guò)A，B，D的拋物線h：y=ax²+bx+c．
（1）求拋物線h的表達(dá)式；
（2）若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個(gè)單位長(zhǎng)的速度從y軸向左平移，交線段CD于點(diǎn)M，交拋物線于h點(diǎn)N，求線段MN的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)E為拋物線h的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線h在第二象限上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，B重合）．連接PE，以PE為邊作圖示一側(cè)的正方形PEFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，繼而根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知點(diǎn)C、D坐標(biāo)，最后待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求出CD所在直線解析式，根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m+2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）從而得出線段MN的長(zhǎng)度l可表示為l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；
（3）求得拋物線的頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4），分點(diǎn)F在y軸上和點(diǎn)G在y軸上兩種情況，利用正方形的性質(zhì)構(gòu)建全等的直角三角形，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等得出關(guān)于x的方程，解之可得．

解答 解：（1）直線y=-2x+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴點(diǎn)A（2，0）、B（0，4），
由題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）、點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，0），
將點(diǎn)A、D坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{16a-4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線h的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；

（2）設(shè)CD所在直線解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)C、D坐標(biāo)代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m+2），
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），
∴線段MN的長(zhǎng)度l可表示為l=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（$\frac{1}{2}$m+2），
整理得：l=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大值為$\frac{25}{8}$；

（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，$\frac{9}{2}$），
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²-x+4）
①當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥MN，

則∠PME=∠ENB=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠PEF=90°，PE=EF，
∴∠MEP+∠NEF=90°，
∴∠MPE=∠NEF，
在△PME和△ENB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠ENB}\\{∠MPE=∠NEF}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△ENB，
∴PM=EN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=1，
解得：x=-1$±\sqrt{2}$，
當(dāng)x=-1+$\sqrt{2}$時(shí)，y=$\frac{7}{2}$，
當(dāng)x=-1-$\sqrt{2}$時(shí)，y=$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）（此時(shí)點(diǎn)P不在第二象限，舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥MN，作GN⊥MN，

則∠EMP=∠PNG=90°，
∴∠MPE+∠MEP=90°，
∵四邊形PEFG是矩形，
∴∠EPG=90°，PE=EG，
∴∠MPE+∠GPN=90°，
∴∠MEP=∠GPN，
在△MPE和△NGP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠GPN}\\{∠EMP=∠PNG}\\{PE=GP}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△NGP，
∴PM=GN，即$\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{2}$x²-x+4）=-x，
解得：x=-2$±\sqrt{3}$，
當(dāng)x=-2+$\sqrt{3}$時(shí)，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）；
當(dāng)x=-2-$\sqrt{3}$時(shí)，y=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）、（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$）、（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，根據(jù)題意構(gòu)建全等的直角三角形是解題的關(guān)鍵．