解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
,
過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,
則OD=
cos30°=
,BD=
BO=
,
∴點B的坐標為(
,
);
(2)將A(2,0)、B(
,
)、O(0,0)三點的坐標代入y=ax
2+bx+c,
得:
,
解方程組,
,
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-
x
2+
x;
(3)設(shè)存在點C(x,-
x
2+
x)(其中0<x<
),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,
只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.
過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,
則S
△OBC=S
△OCF+S
△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,
而|CF|=y
C-y
F=-
x
2+
x-
x=-
x
2+
x,
∴S
△OBC=-
x
2+
x,
∴當x=
時,△OBC面積最大,最大面積為
.
此時C點坐標為(
,
),
故四邊形ABCO的最大面積為:
.
分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
,過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點坐標代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點C(x,-
x
2+
x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,則S
△OBC=S
△OCF+S
△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,而|CF|=y
C-y
F=-
x
2+
x-
x=-
x
2+
x,這樣可以得到S
△OBC=-
x
2+
x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標.
點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識,根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.