Question

【題目】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．
（1）求證：DE=EC；
（2）若AD= BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，

∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，

又∵∠C=90°﹣∠DBC，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC；

（2）若AD= BC，則四邊形ABED是菱形．

證明：∵∠BDE=∠DBC．

∴BE=DE，

∵DE=EC，

∴DE=BE=EC= BC，

∵AD= BC，

∴AD=BE，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∵BE=DE，

∴ABED是菱形．

【解析】（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對等邊，即可證得DE=EC；（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．
【考點精析】掌握菱形的判定方法和梯形的定義是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形．