Question

【題目】已知，□ABCD中∠ABC=90°，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為平行四邊形．

（2）如圖1，求AF的長(zhǎng)．

（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AF=5；（3）以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=秒．

【解析】分析：（1）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；

②根據(jù)勾股定理即可求AF的長(zhǎng)；

（2）分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC．

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF（AAS）．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．即四邊形AFCE為平行四邊形．

②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得

16+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5．

（2）由作圖可以知道，P點(diǎn)AF上時(shí)，Q點(diǎn)CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)AB上時(shí)，Q點(diǎn)DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．

∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

∴PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=t，QA=12-0.8t，

∴t=12-0.8t，

解得：t=．

∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=秒．