Question

【題目】如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．

(1)當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；

（2）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)不重合時(shí)，請(qǐng)判定的形狀；

②求點(diǎn)移動(dòng)的最長(zhǎng)距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①等腰直角三角形，理由詳見(jiàn)解析；②．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可以得出∠A=∠FDM=90°，∠AEM=∠DFM，再證明AM=DM即可證出結(jié)論；

（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，證，推出，再證GF=GE，即可判定的形狀；

②由題意可判斷出點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路程為CG的一半，可直接寫(xiě)出結(jié)果；

(1)∵四邊形是矩形，

∴，

是的中點(diǎn)，

，

又，

；

（2）①過(guò)點(diǎn)作于，如圖①，

，

是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

∵是的中點(diǎn)，

，

，

，

，

，

由（1）得，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

②如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

，

，

為的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)與重合，

，

，

∴點(diǎn)移動(dòng)的最長(zhǎng)距離為．