【題目】已知:四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與C、D不重合),將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE',連接EE'.
(1)如圖1,∠AEE'= °;
(2)如圖2,如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EM∥AD交直線AF于點(diǎn)M,寫出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,在(2)的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長.
【答案】(1)∠AEE'=30°;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),;
當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上時(shí),
時(shí),;
時(shí),;
時(shí),;
(3).
【解析】
試題(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)地的性質(zhì)易得到△ADE≌△ABE/,∠EAE/=120°,所以∠AEE/=30°.
由于點(diǎn)E是射線CD上一動(dòng)點(diǎn),其位置不確定,故應(yīng)分情況討論:一是當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí):此時(shí)易得;二是點(diǎn)E在CD的延長線上時(shí),仍需考慮多種情況,可以知道,當(dāng)∠EAD=300時(shí),AE旋轉(zhuǎn)后的直線與BC平行,當(dāng)∠EAD=900時(shí),AE旋轉(zhuǎn)后的直線與AB共線,而∠EAD不可能為1200,所以應(yīng)再次細(xì)分為三種情況:即當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí).
(3)如圖,作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形;∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.繼續(xù)作于Q.于點(diǎn)P. 多次利用勾股定理可得,,;繼而證明Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E',根據(jù)相似三角形性質(zhì)可求解.
試題解析:
解:(1) 30°.
當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),;
當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上,
時(shí),;
時(shí),;
時(shí),.
(3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.
由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,
易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.則GH="AD" , BG=CH.
∵,
∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.
作于Q.在Rt△EQC中,CE="2,",
∴,.
∴E'Q=.
作于點(diǎn)P.
∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形,.
∴在Rt△AP E'中,E'P=.
∴EE'="2" E'P=.
∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.
∴.
∴.
∴,.
∴
在Rt△E'AF中,
∴Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'.
∴
∴.
∴.
由(2)知:.
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1: ,AB=10米,AE=15米.(i=1: 是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測(cè)角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù): 1.414, 1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀探索
知識(shí)累計(jì)
解方程組
解:設(shè)a﹣1=x,b+2=y,原方程組可變?yōu)?/span>
解方程組得:即所以此種解方程組的方法叫換元法.
(1)拓展提高
運(yùn)用上述方法解下列方程組:
(2)能力運(yùn)用
已知關(guān)于x,y的方程組的解為,直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B、D分別落在點(diǎn)B′,D′處,且點(diǎn)A,B′,D′在同一直線上,則tan∠DAD′ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上,將射線OC繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到射線OD,在旋轉(zhuǎn)過程中,射線OC始終在直線AB上方,且OE平分∠AOD.約定,無論∠AOD大小如何,OE都看作是由OA、OD兩邊形成的最小角的平分線.
(1)如圖,當(dāng)∠AOC=30°時(shí),∠BOD=_________°;
(2)若射線OF平分∠BOC,求∠EOF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)E.過點(diǎn)D作⊙O的切線,交AC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G,連接DE.
(1)求證:BD=CD;
(2)若∠G=40°,求∠AED的度數(shù).
(3)若BG=6,CF=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,數(shù)軸上從左到右的三個(gè)點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)數(shù)的分別為a,b,c.其中點(diǎn)A、點(diǎn)B兩點(diǎn)間的距離AB的長是2019,點(diǎn)B、點(diǎn)C兩點(diǎn)間的距離BC的長是1000,
(1)若以點(diǎn)C為原點(diǎn),直接寫出點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的數(shù);
(2)若原點(diǎn)O在A,B兩點(diǎn)之間,求|a|+|b|+|b﹣c|的值;
(3)若O是原點(diǎn),且OB=19,求a+b﹣c的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)調(diào)查了若干名家長對(duì)“初中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)”現(xiàn)象的看法,統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的條形與扇形統(tǒng)計(jì)圖,則表示“無所謂”的家長人數(shù)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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