Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點；
（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點E為AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS）

（2）

解：

若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形．

【解析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等；（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．