Question

11．若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}$=n，即a=bn，例如：若整數(shù)a 能被101整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}{101}$=n，即a=101n，一個(gè)能被101整除的自然數(shù)我們稱為“孿生數(shù)”，他的特征是先將數(shù)字每?jī)蓚�(gè)分成一組，然后計(jì)算奇數(shù)組之和與偶數(shù)組之和的差，如果差能被101整除，則這個(gè)數(shù)能被101整除，否則不能整除．當(dāng)這個(gè)數(shù)字是奇數(shù)位時(shí)，需將這個(gè)數(shù)末位加一個(gè)0，變?yōu)榕紨?shù)再來分組．例如：自然數(shù)66086421，先分成66，08，64，21．然后計(jì)算66+64-（8+21）=101，能被101整除，所以66086421能被101整除；自然數(shù)10201先加0，變?yōu)?02010再分成10，20，10，然后計(jì)算10+10-20=0，能被101整除，所以10201能被101整除．
（1）請(qǐng)你證明任意一個(gè)四位“孿生數(shù)”均滿足上述規(guī)律；
（2）若七位整數(shù)$\overline{175m6n2}$能被101整除，請(qǐng)求出所有符合要求的七位整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出四位“孿生數(shù)”，則四位數(shù)是101的倍數(shù)，由等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)加上（10a+b）-（10c+d），化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)題意先得出m，n的關(guān)系得出k的可能值，分情況寫出七位數(shù)即可．

解答 解：（1）設(shè)$\overline{abcd}$為任意四位“孿生數(shù)”，滿足1000a+100b+10c+d=101n（n是整數(shù)），
1000a+100b+10c+d+（10a+b）-（10c+d）=101n+（10a+b）-（10c+d），
1010a+101b-101n=（10a+b）-（10c+d），
∴（10a+b）-（10c+d）=$\overline{ab}-\overline{cd}$=101（10a+b-n）（n為整數(shù)），
∵10a+b-n是整數(shù)，
∴（10a+b）-（10c+d）能被101整除，即$\overline{ab}-\overline{cd}$能被101整除，

（2）由題意（17+60+n）-（50+m+20）=101k，k為整數(shù)，
∴7+n-m=101k，
∵0≤m≤9，0≤n≤9且為整數(shù)，
∴-2≤7+n-m≤16，
∴k=0，
當(dāng)k=0時(shí)，m-n=7，
∴滿足的整數(shù)有：1757602，1758612，1759622．

點(diǎn)評(píng) 此題是分解因式的應(yīng)用和數(shù)的整除問題，主要考查了新定義，數(shù)的整除，解本題的關(guān)鍵是理解新定義，掌握數(shù)的整除是解本題的難點(diǎn)．