Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E和點F分別在CD和DA上，且∠CBF=∠EFB
（1）小方同學發(fā)現(xiàn)，當E為CD的中點時，tan∠ABF=

1

3

，當DE=

1

3

CD時，tan∠ABF=

1

5

，當DE=

1

4

CD時，tan∠ABF=

1

7

，那么當DE=

1

5

CD時，tan∠ABF=

 

．
（2）如圖2，當DE=

1

k+1

CD時，tan∠ABF=

 

．證明你的猜測的正確性．

Answer 1

分析：（1）觀察題干給出的信息可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)當DE=

1

n

CD時，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

，根據(jù)此規(guī)律即可求得當DE=

1

5

CD時，tan∠ABF的值；
（2）作BM⊥EF于點M，連接BE．分別求證△AFB≌△MFB，△BCE≌△BME，得出AF=FM，AB=BM，EC=EM，
然后設DE=1，F(xiàn)M=a，利用勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）當E為CD的中點時，即當DE=

1

2

CD時，tan∠ABF=

1

3

=

1

2+1

；
當DE=

1

3

CD時，tan∠ABF=

1

5

=

1

3+2

；
當DE=

1

4

CD時，tan∠ABF=

1

7

=

1

4+3

；
…
可以發(fā)現(xiàn)當DE=

1

n

CD時，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

；

那么當DE=

1

5

CD時，tan∠ABF=

1

5+(5-1)

=

1

9

．
故答案為：

1

9

．

（2）

1

2k+1

．
作BM⊥EF于點M，連接BE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
又∠EFB=∠FBC，
∴∠AFB=∠BFM，
∠A=∠FMB=90°，BF=BF，
∴△AFB≌△MFB，
∴AF=FM，AB=BM，
∵BM=AB=BC，∠BME=∠C=90°，BE=BE
∴△BCE≌△BME，
∴EC=EM，
設DE=1，F(xiàn)M=a，則CE=k，
則FD=1+k-a，ME=CE=k
勾股定理得：DE²+FD²=EF²，
∴1²+（1+k-a）²=（a+k）²
解得：a=

k+1

2k+1

∴tan∠ABF=

a

k+1

=

1

2k+1

．

點評：此題主要考查學生對正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義的理解和掌握，涉及到的知識點較多，綜合性較強，有一定的拔高難度，是一道難題．第（1）題的解答關鍵是通過觀察題目給出的信息總結(jié)歸納出規(guī)律；第（2）題的解答關鍵是關鍵是作好輔助線．