Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（4，0）、C（0，3），點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AM⊥BC于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N，滿足4CN=5ON．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接AC，點(diǎn)D在線段BC上方的拋物線上，連接DC、DB，若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD= S△ABC ， 求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段FC以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止．若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)直接寫出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON= ，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得OA=1，

∴A（﹣1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a1（﹣4）=3，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3；

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3，

作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，

設(shè)P（x，﹣ x2+ x+3），則Q（x，﹣ x+3），

DQ=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4（﹣ x2+3x）=﹣ x2+6x，

∵S△BCD= S△ABC，

∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，

整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）或（3，3）；

（3）

解：設(shè)F（m，﹣ x+3），則EF= = ，CF= ，

點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間t=EF+ =EF+ CF≥2 ，當(dāng)EF= CF時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)t最小，

即 x2﹣ x+13=（ x）2，

整理得2x2﹣17x+26，解得x1=2，x2= （舍去），

∴點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用的最少時(shí)間2× ×2=3秒，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2， ）．

【解析】（1）先利用OC=3和4CN=5ON計(jì)算出ON= ，再證明△AON∽△COB，利用相似比計(jì)算出OA=1，得到A（﹣1，0），然后利用交點(diǎn)式可求出拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+3；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（x，﹣ x2+ x+3），則Q（x，﹣ x+3），再計(jì)算出DQ=﹣ x2+3x，根據(jù)三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=﹣ x2+6x，然后根據(jù)S△BCD= S△ABC得到﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)F（m，﹣ x+3）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到EF= ，CF= x，則點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間t=EF+ =EF+ CF，根據(jù)不等式公式得到EF+ CF≥2 ，當(dāng)EF= CF時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)t最小，解方程 x2﹣ x+13=（ x）2得x1=2，x2= （舍去），于是得到點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用的最少時(shí)間2× ×2=3秒，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2， ）．