【題目】圖1、圖2為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖,圖3為該長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖.
(1)蜘蛛在頂點(diǎn)A′處. ①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí),試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅,沿墻面爬行的最近路線.
②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí),圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線,往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC,試通過(guò)計(jì)算判斷哪條路線更近.
(2)在圖3中,半徑為10dm的⊙M與D′C′相切,圓心M到邊CC′的距離為15dm,蜘蛛P在線段AB上,蒼蠅Q在⊙M的圓周上,線段PQ為蜘蛛爬行路線,若PQ與⊙M相切,試求PQ長(zhǎng)度的范圍.

【答案】
(1)解:①根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”可知:

線段A′B為最近路線,如圖1所示.

②(i).將長(zhǎng)方體展開(kāi),使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形ABCD在同一平面內(nèi),如圖2①.

在Rt△A′B′C中,

∠B′=90°,A′B′=40,B′C=60,

∴AC= = =20

(ii).將長(zhǎng)方體展開(kāi),使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形BCC′B′在同一平面內(nèi),如圖2②.

在Rt△A′C′C中,

∠C′=90°,A′C′=70,C′C=30,

∴A′C= = =10

∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近


(2)解:過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H,連接MQ、MP、MA、MB,如圖3.

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切,圓心M到邊CC′的距離為15dm,BC′=60dm,

∴MH=60﹣10=50,HB=15,AH=40﹣15=25,

根據(jù)勾股定理可得AM= = =

MB= = = ,

∴50≤MP≤

∵⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q,

∴MQ⊥PQ,∠MQP=90°,

∴PQ= =

當(dāng)MP=50時(shí),PQ= =20

當(dāng)MP= 時(shí),PQ= =55.

∴PQ長(zhǎng)度的范圍是20 dm≤PQ≤55dm


【解析】(1)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”可知:線段A′B為最近路線; ②(i).將長(zhǎng)方體展開(kāi),使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形ABCD在同一平面內(nèi),如圖2①,運(yùn)用勾股定理求出AC長(zhǎng);(ii).將長(zhǎng)方體展開(kāi),使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形BCC′B′在同一平面內(nèi),如圖2②,運(yùn)用勾股定理求出A′C長(zhǎng),然后將兩個(gè)長(zhǎng)度進(jìn)行比較,就可解決問(wèn)題;(2)過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H,連接MQ、MP、MA、MB,如圖3.由⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q可得MQ⊥PQ,即∠MQP=90°,根據(jù)勾股定理可得PQ= = .要求PQ的取值范圍,只需先求出MP的取值范圍,就可解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的幾何體的展開(kāi)圖和線段的基本性質(zhì),需要了解沿多面體的棱將多面體剪開(kāi)成平面圖形,若干個(gè)平面圖形也可以圍成一個(gè)多面體;同一個(gè)多面體沿不同的棱剪開(kāi),得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的,就是說(shuō):同一個(gè)立體圖形可以有多種不同的展開(kāi)圖;線段公理:所有連接兩點(diǎn)的線中,線段最短.也可簡(jiǎn)單說(shuō)成:兩點(diǎn)之間線段最短;連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,叫做這兩點(diǎn)的距離;線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),且以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
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