【題目】如圖, 的中線, 是線段 上一點(不與點 重合). 于點 , ,連結

(1)如圖1,當點重合時,求證:四邊形是平行四邊形

(2)如圖2,當點不與重合時,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.

(3)如圖3,延長于點,若,且

①求的度數(shù);

②當時,求 的長.

【答案】(1)證明見解析(2)成立,理由見解析;(3)①30°.②1+

【解析】

試題(1)只要證明AE=BM,AEBM即可解決問題;

(2)成立.如圖2中,過點MMGDECEG.由四邊形DMGE是平行四邊形,推出ED=GM,且EDGM,由(1)可知AB=GM,ABGM,可知ABDE,AB=DE,即可推出四邊形ABDE是平行四邊形;

(3)①如圖3中,取線段HC的中點I,連接MI,只要證明MI=AM,MIAC,即可解決問題;

②設DH=x,則AH=x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四邊形ABDE是平行四邊形,推出DFAB,推出,可得,解方程即可;

試題解析:(1)證明:如圖1中,

DEAB,

∴∠EDC=ABM,

CEAM,

∴∠ECD=ADB,

AMABC的中線,且DM重合,

BD=DC,

∴△ABD≌△EDC,

AB=ED,ABED,

∴四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)結論:成立.理由如下:

如圖2中,過點MMGDECEG.

CEAM,

∴四邊形DMGE是平行四邊形,

ED=GM,且EDGM,

由(1)可知AB=GM,ABGM,

ABDE,AB=DE,

∴四邊形ABDE是平行四邊形.

(3)①如圖3中,取線段HC的中點I,連接MI,

BM=MC,

MIBHC的中位線,

∴∥BH,MI=BH,

BHAC,且BH=AM.

MI=AM,MIAC,

∴∠CAM=30°.

②設DH=x,則AH=x,AD=2x,

AM=4+2x,

BH=4+2x,

∵四邊形ABDE是平行四邊形,

DFAB,

,

,

解得x=1+1-(舍棄),

DH=1+

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