Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

3

x+

3

交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，連接OC，然后將直線OC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)D，再過D點(diǎn)作直線DC₁∥OC，交AB與點(diǎn)C₁，然后過C₁點(diǎn)繼續(xù)作直線D₁C₁∥OC，交x軸于點(diǎn)D₁，并不斷重復(fù)以上步驟，記△OCD的面積為S₁，△DC₁D₁的面積為S₂，依此類推，后面的三角形面積分別是S₃，S₄…，那么S₁=

 

，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n，當(dāng)n無限大時，S的值無限接近于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線AB的解析式y=-

3

3

x+

3

，易得OB=

3

，OA=3，即∠OBA=60°，而C是Rt△OAB的中點(diǎn)，那么易得△OCB是等邊三角形，則∠COD=30°，OC=

3

；
（1）首先求△OCD的面積，已知∠DCO=∠DOC=30°，那么△OCD是等腰三角形，過D作OC的垂線設(shè)垂足為E，易得OE的長，通過解直角三角形可求得DE的值，從而根據(jù)三角形的面積公式得到△OCD的面積；
（2）求S的值，需要從整體出發(fā)；過O作OC₀∥DC，那么OC₀⊥AB，易可求出△OC₀B、△OCC₀的值，通過觀察，△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都是相似三角形，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都是相似三角形，因此上述兩種相似三角形的面積和將△OC0A的面積分為兩部分，且它們的比為△OC₀C與△ODC的面積比，可據(jù)此求出S的值．

解答：解：過O作OC₀⊥AB于C0，過D作DE⊥OC于E；
由直線AC的解析式y=-

3

3

x+

3

可知：
當(dāng)y=0時，x=3，則OA=3；
當(dāng)x=0時，y=

3

，則OB=

3

；
故∠OBA=60°，∠OAB=30°；
由于C是Rt△AOB斜邊AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)C=CB，則△OBC是等邊三角形；
∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；
∴OE=CE=

3

2

；

（1）△ODE中，OE=

3

2

，∠DOE=30°，
則DE=

1

2

，S_△OCD=

1

2

OC•DE=

3

4

；

（2）易知：S_△AOB=

1

2

OA•OB=

3 3

2

，S_△BOC=

1

2

S_△AOB=

3 3

4

，S_△OBC0=S_△OCC0=

1

2

S_△OBC=

3 3

8

；
∴S_△OC0A=S_△OAB-S_△OBC0=

3 3

2

-

3 3

8

=

9 3

8

；
由題意易得：△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都相似，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都相似；
設(shè)△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…的面積和為S′，則：
S′：S=S_△OC0C：S_△OCD=

3 3

8

：

3

4

=3：2，
∴S=

2

5

S_△OC0A=

2

5

×

9 3

8

=

9 3

20

；
故答案為：

3

4

，

9 3

20

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圖形面積的求法，涉及到一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)等知識，注意此題中整體思想的運(yùn)用．