如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上的一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=
10
，求⊙O的半徑長．
（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如圖2①，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD=
AC2-DC2
=
(
10
)2-12
=3，
∵OE⊥AC，
∴AE=
1
2
AC=
10
2
．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴
AE
AD
=
AO
AC
，即
10
2
3
=
AO
10
，
∴AO=
5
3
，即⊙O的半徑為
5
3
．
解法二：如圖2②，連接BC．
在Rt△ADC中，AD=
AC2-DC2
=
(
10
)2-12
=3．
∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴
AC
AD
=
AB
AC
，
即
10
3
=
AB
10
，
∴AB=
10
3
，
∴AO=
1
2
AB=
1
2
×
10
3
=
5
3
，
即⊙O的半徑為
5
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知：如圖，AB是半圓O的直徑，P是AB延長線上的一點(diǎn)，若OB=BP，則∠P的度數(shù)為（　�。�
A．60°B．45°C．30°D．15°

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A．9B．10C．12D．14

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、D兩點(diǎn)，且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F．
求證：AC是⊙O的切線．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，DC切⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DC，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=
3
5
，求DC的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線．
（2）若AD=2
6
，AE=6
2
，求EC的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，圓周角∠BAC=55°，分別過B，C兩點(diǎn)作⊙O的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，則∠BPC=______°．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，D在AC上，以AD為直徑的⊙O恰與邊BC切于E，且AE平分∠BAC，試判斷
△ABC的形狀，并加以說明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖PA是△ABC的外接圓O的切線，A是切點(diǎn)，PD∥AC，且PD與AB、AC分別相交于E、D．
求證：（1）∠PAE=∠BDE；
（2）EA•EB=ED•EP．

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