Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合．連接BE、EC．試猜想線段BE和EC的數量關系和位置關系，并證明你的猜想．

 

Answer 1

【答案】

線段BE和EC的數量關系是：BE＝EC，……1分

位置關系是：BE⊥EC．  …………………………2分

證明如下：

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，

∴∠BAE＝90°＋45°＝135°，∠CDE＝180°－45°＝135°，

∴∠BAE＝∠CDE，          ……………………………………………………4分

又∵AC＝2AB，點D是AC的中點，∴AD＝DC，………………………………6分

而AE＝DE，∴△ABE≌△DCE， …………………………………………………5分

∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，  ……………………………………………………7分

∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，…………………8分

∴BE⊥EC．     ………………………………………………………………………9分

 【解析】先用邊角邊證明△ABE與△EDC全等證出BE=CE，然后用角的等量代換證明∠DEC=90°,從而得出BE⊥EC