Question

如圖，五星形ABCDE．求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：在△ABI中，∠A＋∠B＋∠AIB＝， 　　又∠AIB＝∠C＋∠CJI＝∠C＋∠D＋∠E， 　　∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　證法2：在△AFJ中，∠A＋∠AFJ＋∠AJF＝， 　　又∠AFJ＝∠B＋∠C，∠AJF＝∠D＋∠E， 　　∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　證法3：連結(jié)BE． 　　在△ABE中，∠A＋∠ABE＋∠AEB＝， 　　即∠A＋∠ABC＋∠HBE＋∠HEB＋∠AEH＝． 　　又∵∠HBE＋∠HEB＝－∠BHE＝∠BHG， 　　而∠BHG＝∠D＋∠C，從而有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　分析：待證式是五個(gè)角的和為，即它們的和恰好等于一個(gè)三角形的內(nèi)角和，因而應(yīng)設(shè)法將這五個(gè)角與某一個(gè)三角形的內(nèi)角掛起鉤來(lái)． 　　點(diǎn)撥：本題通過(guò)有關(guān)特殊多邊形中角的和的關(guān)系式的推證，考查三角形內(nèi)角和與外角定理的應(yīng)用．找一個(gè)適當(dāng)?shù)娜�角形入手，將其各�?nèi)角逐一用∠A，∠B，∠C，∠D，∠E替代是證法1，2的關(guān)鍵；證法3通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的三角形，利用外角定理將角逐一代換來(lái)證得．