【題目】閱讀理解:

我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形,叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.

例如:角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡.

問題:如圖1,已知EF為ABC的中位線,M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AM交EF于點(diǎn)P,那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn).

理由:線段EF為ABC的中位線,EFBC,

由平行線分線段成比例得:動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn).

由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是:

知識(shí)應(yīng)用:

如圖2,已知EF為等邊ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)EF;若AF=BE,且等邊ABC的邊長(zhǎng)為8,求線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).

拓展提高:

如圖3,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),在線段AB的同側(cè)分別作等邊APC和等邊PBD,連結(jié)AD、BC,交點(diǎn)為Q.

(1)求AQB的度數(shù);

(2)若AB=6,求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng).

【答案】閱讀理解:EF;知識(shí)應(yīng)用:4;拓展提高:(1)AQB=120°,(2)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)π

【解析】

試題分析:閱讀理解:根據(jù)軌跡的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF.知識(shí)應(yīng)用:如圖1中,作ABC的中位線MN,作EGAC交NM的延長(zhǎng)線于G,EF與MN交于點(diǎn)QGQE≌△NQF,推出Q、Q重合即可解決問題.拓展提高:如圖2中,(1)只要證明APD≌△CPB,推出DQG=BPG=60°結(jié)論解決問題.(2)由(1)可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是,設(shè)弧AB所在圓的圓心為O,Z 圓上任意取一點(diǎn)M,連接AM,BM,則M=60°,作OHAB于H,則AH=BH=3,OH=,OB=2,利用弧長(zhǎng)公式即可解決.

試題解析:閱讀理解:根據(jù)軌跡的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF.

知識(shí)應(yīng)用:如圖1中,作ABC的中位線MN,作EGAC交NM的延長(zhǎng)線于G,EF與MN交于點(diǎn)Q

∵△ABC是等邊三角形,MN是中位線,

AM=BM=AN=CN,

AF=BE,

EM=FN,

MNBC,

∴∠AMN=B=GME=60°,

∵∠A=GEM=60°

∴△GEM是等邊三角形,

EM=EG=FN,

GQE和NQF中,

,

∴△GQE≌△NQF,

EQ=FQ,

EQ=QF,

點(diǎn)Q、Q重合,

點(diǎn)Q在線段MN上,

段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN,

MN=BC=×8=4.

線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為4.

拓展提高:如圖2中,

(1)∵△APC,PBD都是等邊三角形,

AP=PC,PD=PB,APC=DPB=60°,

∴∠APD=CPB,

APD和CPB中,

,

∴△APD≌△CPB,

∴∠ADP=CBP,設(shè)BC與PD交于點(diǎn)G,

∵∠QGD=PGB,

∴∠DQG=BPG=60°,

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

(2)由(1)可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是,設(shè)弧AB所在圓的圓心為O,Z 圓上任意取一點(diǎn)M,連接AM,BM,則M=60°,

∴∠AOB=2M=120°,作OHAB于H,則AH=BH=3,OH=,OB=2

弧AB的長(zhǎng)==π

動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)π

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