Question

（1）順次連接任意四邊形各邊中點構成的四邊形是

 

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（2）順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，構成的四邊形是

 

；
（3）順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點構成的四邊形是

 

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Answer 1

分析：（1）連接任意四邊形的中點，如圖，連接AC，根據(jù)三角形的中位線定理，可以證得HG=FE=

1

2

AC，并且HG∥EF，所以利用平行四邊形的判定定理可知，該中點四邊形是平行四邊形．
（2）在（1）的基礎上，易證平行四邊形GHBF的一組鄰邊相等，所以根據(jù)菱形的定義可知該中點四邊形是菱形．
（3）在（1）的基礎上，易證平行四邊形GHBF中有一個角是直角，所以根據(jù)矩形的定義可知該中點四邊形是矩形．

解答：解：（1）如圖所示，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．
連接AC，
∵E、F、G、H分別為各邊的中點，
∴HG、EF分別為△ACD與△ABC的中位線，
∴HG∥AC∥EF，HG=EF=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC=BD，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．
連接AC、BD，
∵E、F、G、H分別為各邊的中點，
∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=

1

2

BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
同理可得，HG=EF=

1

2

AC，
∵AC=BD，
∴EH=GF，
∴四邊形EFGH是菱形；

（3）如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．
解：連接AC、BD，
∵E、F、G、H分別為各邊的中點，
∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=

1

2

BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
同理可得，HG∥AC∥EF，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥BD⊥EH，
∴四邊形EFGH是矩形．

故答案分別為平行四邊形、菱形、矩形．

點評：本題考查的是三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半．解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合解答．