Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4

2

．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PD至點(diǎn)Q，使得PD=QD，以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△ABC與△PQE重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，連接AQ、AP，是否存在這樣的t，使得△APQ成為等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，以PQ為斜邊在PQ右側(cè)作等腰直角三角形PQF，將四邊形PEQF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，PE與線段AB相交于點(diǎn)M，PF與線段AC相交于點(diǎn)N．試判斷在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求出四邊形PMAN的面積y與PM的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；若不發(fā)生變化，求出此定值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PQ過(guò)A時(shí)求出t=4，當(dāng)E在AB上時(shí)求出t=

16

3

，當(dāng)P到C點(diǎn)時(shí)t=8，即分為三種情況：根據(jù)三角形面積公式求出當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=

1

4

t²，當(dāng)4＜t≤

16

3

時(shí)，S=-

3

4

t²+8t-16，當(dāng)

16

3

＜t＜8時(shí)，S=

3

4

t²-12t+48；
（2）存在，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，求出QD=PD=t，PD=2t，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=

AH2+PH2

=

t2-8t+32

，（�。┤鬉P=PQ，則有

t2-8t+32

=2t，（ⅱ）若AQ=PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AP于點(diǎn)G，根據(jù)△PGQ∽△AHP求出PG=

8t

t2-8t+32

，若AQ=PQ，得出

8t

t2-8t+32

=

1

2

t2-8t+32

．（ⅲ）若AP=AQ，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥PQ于點(diǎn)T，得出4=

1

2

×2t，求出方程的解即可；
（3）四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化，連接AP，此時(shí)t=4秒，求出S_{四邊形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=

1

2

×CP×AP=8．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=

1

4

t²，
當(dāng)4＜t≤

16

3

時(shí)，S=-

3

4

t²+8t-16，
當(dāng)

16

3

＜t＜8時(shí)，S=

3

4

t²-12t+48；

（2）存在，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=

1

2

BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=

AH2+PH2

=

t2-8t+32

；
（�。┤鬉P=PQ，則有

t2-8t+32

=2t．
解得：t₁=

4 7 -4

3

，t₂=

-4 7 -4

3

（不合題意，舍去）；
（ⅱ）若AQ=PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AP于點(diǎn)G，如圖（1），
∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴

PG

AH

=

PQ

AP

，即

PG

4

=

2t

t2-8t+32

，
∴PG=

8t

t2-8t+32

，
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，則有AG=PG，即PG=

1

2

AP，
即

8t

t2-8t+32

=

1

2

t2-8t+32

．
解得：t₁=12-4

7

，t₂=12+4

7

（不合題意，舍去）；
（ⅲ）若AP=AQ，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥PQ于點(diǎn)T，如圖（2），
易知四邊形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，則有QT=PT，即PT=

1

2

PQ，
即4=

1

2

×2t．解得t=4．
當(dāng)t=4時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)共線，△APQ不存在，故t=4舍去．
綜上所述，存在這樣的t，使得△APQ成為等腰三角形，即t₁=

4 7 -4

3

秒或t₂=（12-4

7

）秒；

（3）四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
連接AP，如圖（3），
∵此時(shí)t=4秒，
∴BP=4×1=4=

1

2

BC，
∴點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=

1

2

BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=

1

2

∠BAC=45°，
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S_△CPN=S_△APM，
∴S_{四邊形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=

1

2

×CP×AP=

1

2

×4×4=8．
∴四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化，此定值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，用了分類(lèi)討論思想和方程思想，難度偏大．