Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2

3

），C（0，2

3

），點(diǎn)P在線段OA上（不與O、A重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A’），折痕PQ與射線AB交于點(diǎn)Q，設(shè)OP=x，折疊后紙片重疊部分的面積為y．（圖②供探索用）
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；
（3）y存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)來求，根據(jù)B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值：A、B橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值，可得出∠OAB的度數(shù)得出∠BAO的度數(shù)，
（2）利用當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，∠OAB=60°，PA=PA′，進(jìn)而求出△A′PA是等邊三角形，且QP⊥QA′，即可得出y=S_△AQP=

1

2

A′Q•QP求出即可；當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)Q在線段AB（不與B重合）上時(shí)，紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖②，其中E是PA′與CB的交點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，分別求出即可；
（3）可分成三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)A′在AB上時(shí)，即當(dāng)6≤x＜10時(shí)，可根據(jù)（2）的函數(shù)來求出此時(shí)y的最大值；
②當(dāng)A′在AB延長(zhǎng)線上但Q在AB上時(shí)，即當(dāng)2≤x＜6時(shí)，此時(shí)重合部分的面積=三角形AA′P的面積-上面的小三角形的面積，根據(jù)AQ和AB的長(zhǎng)，我們可得出A′B的長(zhǎng)，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當(dāng)A′在AB延長(zhǎng)線上且Q也在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，即當(dāng)0＜x＜2時(shí)，重合部分的面積就是三角形EFQ的面積，那么關(guān)鍵是求出BF，BE的值，知道了AP的長(zhǎng)，也就知道了AQ，A′Q的長(zhǎng)，根據(jù)AB=4我們不難得出BQ的長(zhǎng)，有了BQ的長(zhǎng)就可以求出A′B，BE的長(zhǎng)，在直角三角形BQE中，可根據(jù)∠QBF的度數(shù)，和BQ的長(zhǎng)，來表示出BF的長(zhǎng)，這樣我們就能表示出EF的長(zhǎng)了，又知道EF邊上的高是OC的長(zhǎng)，因此可根據(jù)三角形的面積來求出S的值，然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）∵兩底邊OA=10，CB=8，垂直于底的腰 OC=2

3

，
∴tan∠OAB=

2 3

10-8

=

3

，
∴∠OAB=60°．

（2）當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，
∵∠OAB=60°，PA=PA′，
∴△A′PA是等邊三角形，且QP⊥QA′，
∴PQ=（10-x）sin60°=

3

2

（10-x），A′Q=AQ=

1

2

AP=

1

2

（10-x），
∴y=S_△AQP=

1

2

A′Q•QP=

3

8

（10-x）²，
當(dāng)A?與B重合時(shí)，AP=AB=

3

sin60°

=4，
所以此時(shí)6≤x＜10；
當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)Q在線段AB（不與B重合）上時(shí)，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖②，其中E是PA′與CB的交點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，AP=2AB=8，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），
又由（2）中求得當(dāng)A?與B重合時(shí)，P的坐標(biāo)是（6，0），
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，2＜x＜6；

（3）y存在最大值．
①當(dāng)6≤x＜10時(shí)，y=

3

8

（10-x）²，
在對(duì)稱軸x=10的左邊，S的值隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x=6時(shí)，y的值最大是2

3

；
②當(dāng)2≤x＜6時(shí)，由圖②，重疊部分的面積y=S_△A′QP-S_△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴y=

3

8

（10-x）²-

1

2

（10-x-4）²×

3

2

=

3

8

（-x²+4x+28）=-

3

8

（x-2）²+4

3

，
當(dāng)x=2時(shí)，y的值最大是4

3

；
③當(dāng)0＜x＜2，即當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)Q都在線段AB的延長(zhǎng)線是（如圖③，其中E是PA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是QP與CB的交點(diǎn)），
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF，四邊形EPAB是等腰形，
∴EF=EP=AB=4，
∴y=

1

2

EF•OC=

1

2

×4×2

3

=4

3

．
綜上所述，S的最大值是4

3

，此時(shí)x的值是0＜x≤2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了代數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，其中有分類思想的滲透．主要問題是在解題中計(jì)算三角形面積時(shí)沒有除以2，或分類情況不全面，或?qū)τ谌≈捣秶�的處理不到位．特別是認(rèn)為只存在一個(gè)x的值使得面積最大，導(dǎo)致失分較多．更多是缺乏對(duì)復(fù)雜問題的分析能力，導(dǎo)致不會(huì)做．