設a是正整數(shù),二次函數(shù)y=x2+(a+17)x+38-a,反比例函數(shù)y=
56x
,如果兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點),求a的值.
分析:先聯(lián)立兩方程,得到關(guān)于x的一元二次方程,把此方程分解為兩個因式積的形式,再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解.
解答:解:聯(lián)立方程組
y=x2+(a+17)x+38-a
y=
56
x
消去y得,x2+(a+17)x+38-a=
56
x

即x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,
當x=1時,x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,
∴式子x3+(a+17)x2+(38-a)x-56中含有因式(x-1),
分解因式得(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0,(1)
顯然x1=1是方程(1)的一個根,(1,56)是兩個函數(shù)的圖象的一個交點.
因為a是正整數(shù),所以關(guān)于x的方程x2+(a+18)x+56=0,(2)
其判別式△=(a+18)2-224>0,它一定有兩個不同的實數(shù)根.
而兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點,所以方程(2)的根都是整數(shù),
因此它的判別式△=(a+18)2-224應該是一個完全平方數(shù).
設(a+18)2-224=k2(其中k為非負整數(shù)),則(a+18)2-k2=224,即(a+18+k)(a+18-k)=224.
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,
所以
a+18+k=112
a+18-k=2
a+18+k=56
a+18-k=4
a+18+k=28
a+18-k=8
解得
a=39
k=55
a=12
k=26
a=0
k=10

而a是正整數(shù),所以只可能
a=39
k=55
a=12
k=26.

故答案為:a=39或a=12.
點評:本題考查的是二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、根的判別式、整數(shù)的奇偶性,涉及面較廣,難度較大.
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