【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,F(xiàn)為BE的中點,連結(jié)DF,CF.
(1)如圖①,當(dāng)點D在AB上,點E在AC上,請直接寫出此時線段DF,CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.
(2)如圖②,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°,請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.
(3)如圖③,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,若AD=1,AC=,求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果).
【答案】(1) DF=CF,DF⊥CF;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立,證明見解析;(3)CF=.
【解析】
(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=CF,根據(jù)∠DFE=2∠DBF,∠CFE=2∠CBF,得到∠EFD+∠EFC=2∠ABC=90°,DF⊥CF.
(2)延長DF交BC于點G,先證明△DEF≌△GBF,得到DE=GB,DF=GF,根據(jù)AD=DE,AB=BC,得到DC=GC又因為∠ACB=90°,所以DF=CF且DF⊥CF.
(3)延長DF交BA于點H,先證明△DEF≌△HBF,得到DE=BH,根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,AC=2,可以求出AB的值,進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH,再求出DF,求出得CF的值.
(1) DF=CF. DF⊥CF.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.證明如下:
如解圖①,延長DF交BC于點G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,∴DE∥BC,
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F為BE的中點,∴EF=BF,
∴△DEF≌△GBF(AAS),
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,∴AD=GB.
∵AC=BC,∴AC-AD=BC-GB,即DC=GC.
∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF,∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)CF=.
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【題目】已知二次函數(shù)y=kx2﹣7x﹣7的圖象與x軸沒有交點,則k的取值范圍為( )
A.k>﹣
B.k≥﹣ 且k≠0
C.k<﹣
D.k>﹣ 且k≠0
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【題目】根據(jù)條件求二次函數(shù)的解析式
(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=3,最小值為﹣2,且過(0,1)點.
(2)拋物線過(﹣1,0),(3,0),(1,﹣5)三點.
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,△ABC各頂點都在格點上,點A,C的坐標(biāo)分別為(﹣5,1)、(﹣1,4),結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:
(1)①畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1;
②畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2;
(2)點C1的坐標(biāo)是;點C2的坐標(biāo)是;
(3)試判斷:△A1B1C1與△A2B2C2是否關(guān)于x軸對稱?(只需寫出判斷結(jié)果) .
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【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常數(shù),且m≠0)的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,﹣6)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接BA,BC,求△ABC的面積.
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【題目】△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別記為,,,由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是( ).
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3
C.
D.∶∶=3∶4∶6
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【題目】已知,如圖,四邊形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,求四邊形ABCD的面積.
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