【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點M、N分別在線段DA、BA的延長線上,且BD=BN=DM,連接BM、DN并延長交于點P.
(1)求證:∠P=90°﹣∠C;
(2)當(dāng)∠C=90°,ND=NP時,判斷線段MP與AM的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】分析(1)首先過點B作BF⊥PD于點F,過點D作DG⊥BP于點G,BF與DG交于點H,由BD=BN=DM,可得BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線,又由四邊形內(nèi)角和為360°,可得∠P+∠FHG=180°,繼而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+∠C,則可證得結(jié)論;
(2)首先過點P作PS⊥CD于點S,PR⊥BC于點R,易證得△PKD≌△PSD(AAS),同理:△PKB≌△PRB,然后延長BN交QS于點Q,則Q為PS的中點,設(shè)QS=PQ=x,即可求得答案.
詳解(1)證明:過點B作BF⊥PD于點F,過點D作DG⊥BP于點G,BF與DG交于點H,
∴∠FHG+∠P=180°,
∴∠DHB+∠P=180°,
∴∠DHB=180°﹣∠P,
∵BD=BN=DM,
∴BF與DG是∠DBN、∠MDB的平分線,
∴由四邊形內(nèi)角和為360°,可得∠P+∠FHG=180°,
∵∠DHB=180°﹣(∠GDB+∠FBD)=180°﹣(180°﹣∠DAB)=90°﹣∠DAB,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠DAB=∠C,
∴∠DHB=90°﹣∠C,
∵∠DHB=180°﹣∠P,
∴180°﹣∠P=90°+∠C,
∴∠P=90°﹣∠C;
(2)MP:AM=:2.
理由:過點P作PS⊥CD于點S,PR⊥BC于點R,
當(dāng)∠C=90°時,則∠DPB=45°,
∵BN∥CD,
∴∠BND=∠BDN=∠SDN,
同理:∠PBD=∠PBR,
作PK⊥BD于點K,
在△PKD和△PSD中,
∴△PKD≌△PSD(AAS),
同理:△PKB≌△PRB,
∴PS=PR,
∴四邊形PSCR是正方形,
延長BN交QS于點Q,則Q為PS的中點,
設(shè)QS=PQ=x,
則PS=CS=RC=2x,RB=KB=x,
設(shè)SD=m,BD=x+m,
則(x+m)2=x2+(2x﹣m)2,
∴m:x=2:3,
∴DK=SD=x,BD=x,
∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x,
根據(jù)勾股定理得,AB==x,
在Rt△ABM中,BM=,
∴PB=,
∴PM=,
∴MP:AM=:2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O(shè)為直角頂點的三角板,移動三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點M,N.
(1)如圖1,若點O與點A重合,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是__________________;
(2)如圖2,若點O在正方形的中心(即兩對角線的交點),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;
(3)如圖3,若點O在正方形的內(nèi)部(含邊界),當(dāng)OM=ON時,請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形?
(4)如圖4是點O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時,請你就“點O的位置在各種情況下(含外部)移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論.(不必說理)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,適與岸齊.問霞長幾何.
注釋:今有正方形水池邊長1丈,蘆葦生長在中央,長出水面1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰好與水岸齊,問蘆葦?shù)拈L度(一丈等于10尺).解決下列問題:
(1)示意圖中,線段的長為______尺,線段的長為______尺;
(2)求蘆葦?shù)拈L度.
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【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學(xué)生共50名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
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【題目】在正方形ABCD中,動點E,F分別從D,C兩點同時出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動.
(1)如圖1,當(dāng)點E在邊DC上自D向C移動,同時點F在邊CB上自C向B移動時,連接AE和DF交于點P,請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理;
(2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長線上移動時,連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答“是”或“否”,不需證明);連接AC,求△ACE為等腰三角形時CE:CD的值;
(3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動時,連接AE和DF交于點P,由于點E,F的移動,使得點P也隨之運動,請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2,試求出線段CP的最大值.
圖1 圖2 圖3
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【題目】如圖,在中,已知,,,點在邊上,,線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)度后(),點旋轉(zhuǎn)至點,如果點恰好落在的邊上,求的面積.
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【題目】如圖,曲線AB是頂點為B,與y軸交于點A的拋物線y=﹣x2+4x+2的一部分,曲線BC是雙曲線y=的一部分,由點C開始不斷重復(fù)“A﹣B﹣C”的過程,形成一組波浪線,點P(2018,m)與Q(2025,n)均在該波浪線上,則=___________.
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【題目】已知線段AB,反向延長線段AB到C,使BC=AB,D為BC的中點,E為BD的中點.
(1)①補全圖形;
②若AB=4,則AE=_____(直接寫出結(jié)果).
(2)若AE=2,求AC的長.
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【題目】如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象,圖1是產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,圖2是一件產(chǎn)品的銷售利潤z(單位:元)與時間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤,下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 第24天的銷售量為200件 B. 第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元
C. 第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等 D. 第30天的日銷售利潤是750元
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