Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．

（1）如果∠BAO=45°，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上；

（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(，)；（2）見解析；（3）1＜h≤

【解析】（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，P是AC，BD對(duì)角線的交點(diǎn)，能證明OAPB是正方形，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）過P點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在∠AOB的平分線上，所以h＞0，從最小值到最大值時(shí)的位置進(jìn)行分析．

解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，

∴∠PAB=45°，

∵∠BAO=45°，

∴∠PAO=90°，

∴四邊形OAPB是正方形，

∵AB=2，由勾股定理得：PA=PB=

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）．

（2）證明：作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，

∴∠PEB=∠PFA=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，AC與BD相交于P，

∴PA=PB，∠APB=90°．

∵∠AOB=90°，

∴∠PAO+∠PBO=180°．

∵∠PBE+∠PBO=180°，

∴∠PBE=∠PAO，

在△PEB和△PFA中：

∴△PEB≌和△PFA（AAS）

∴PE=PF

∴OP平分∠AOB．

即無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

（3）結(jié)合（2）設(shè)PF=h，∠APF=α．

在直角△APF中，∠AFP=90°，PA=，

∴PF=PAcosα=cosα，

又∵頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），

∴0°≤α＜45°，

∴1＜h≤．