【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:DE=AD+BE;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),求證:DE=AD-BE;
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)DE=BE-AD.
【解析】試題分析:(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°,因?yàn)椤?/span>ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,推出∠ACD=∠CBE,根據(jù)AAS可得Rt△ADC≌Rt△CEB,得到AD=CE,CD=BE,即可求出答案;
(2)與(1)證法類似可證出∠ACD=∠CBE,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,根據(jù)線段的和差即可得到答案;
(3)同前兩問可得△ACD≌△CBE,得到AD=CE,CD=BE,根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論.
試題解析:
證明:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
在△ADC與△CEB中,
∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=CB,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)∵∠ACB=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°,
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC與△CEB中,
∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD=∠CBE,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB (AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
(3)DE=BE-AD.
理由:同(1)(2)證法可得△ADC≌△CEB ,
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.
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(2)若點(diǎn)P從B出發(fā)沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動,速度每秒2個(gè)單位,運(yùn)動時(shí)間t秒,△AOP的面積為S,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB,在線段AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)Q,使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
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