(2013•莆田)在Rt△ABC,∠C=90°,D為AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于點(diǎn)F,NE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)特殊驗(yàn)證:如圖1,若AC=BC,且D為AB中點(diǎn),求證:DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:若AC≠BC.
①如圖2,若D為AB中點(diǎn),(1)中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立,請(qǐng)指出并加以證明;
②如圖3,若BD=kAD,條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長線上”,其它條件不變,請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
分析:(1)如答圖1,連接CD,證明△AND≌△CMD,可得DM=DN;證明△NED≌△DFM,可得DF=NE,從而得到AE=NE=DF;
(2)①若D為AB中點(diǎn),則分別證明△DEN∽△MFD,△AEN∽△MFB,由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立.證法二提供另外一種證明方法,可以參考;
②若BD=kAD,證明思路與①類似;證法二提供另外一種證明方法,可以參考.
解答:(1)證明:若AC=BC,則△ABC為等腰直角三角形,

如答圖1所示,連接CD,則CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.
在△AND與△CMD中,
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCM=45°

∴△AND≌△CMD(ASA),
∴DM=DN.
∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,
∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,
在△NED與△DFM中,
∠4=∠3
DN=DM
∠1=∠5

∴△NED≌△DFM(ASA),
∴NE=DF.
∵△ANE為等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.

(2)①答:AE=DF.
證法一:由(1)證明可知:△DEN∽△MFD,
DE
MF
=
EN
DF
,即MF•EN=DE•DF.
同理△AEN∽△MFB,
AE
MF
=
EN
BF
,即MF•EN=AE•BF.
∴DE•DF=AE•BF,
∴(AD-AE)•DF=AE•(BD-DF),
∴AD•DF=AE•BD,∴AE=DF.
證法二:如答圖2所示,過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,DQ⊥AC于點(diǎn)Q.

∵D為AB中點(diǎn),
∴DQ=PC=PB.
易證△DMF∽△NDE,∴
DF
NE
=
DM
DN
,
易證△DMP∽△DNQ,∴
DM
DN
=
DP
DQ
=
DP
PB
,
DF
NE
=
DP
PB
;
易證△AEN∽△DPB,∴
AE
NE
=
DP
PB
,
DF
NE
=
AE
NE
,∴AE=DF.

②答:DF=kAE.
證法一:由①同理可得:DE•DF=AE•BF,
∴(AE-AD)•DF=AE•(DF-BD)
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE.
證法二:如答圖3,過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,DQ⊥AC于點(diǎn)Q.

易證△AQD∽△DPB,得
DQ
PB
=
AD
BD
=
1
k
,即PB=kDQ.
由①同理可得:
DM
DN
=
DP
DQ
=
DF
NE
,
DF
NE
=
kDP
PB
;
又∵
AE
NE
=
DP
PB
,
DF
NE
=
kAE
NE

∴DF=kAE.
點(diǎn)評(píng):本題是幾何探究與證明綜合題,考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì).題中三個(gè)結(jié)論之間逐級(jí)遞進(jìn),體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
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