【題目】1)如圖(1),在平行四邊形ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分別為E、F,求證:AE=CF;

2)如圖(2),在平行四邊形ABCD中,AC、BD是兩條對(duì)角線,求證AC2+BD2=2AB2+BC2

3)如圖(3),PQPMN的中線,若PM=11PN=13,MN=10,求出PQ的長(zhǎng)度.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(32

【解析】

1)利用平行四邊形的性質(zhì),判定RtAEDRtCFB,即可得到AE=CF;

2)分別過(guò)A,DAEBCCB延長(zhǎng)線于E,DFBCF.根據(jù)勾股定理可得:AC2=AE2+BE+BC2①,AE2=AB2-BE2②,BD2=DF2+BC-CF2③,DF2=DC2-CF2④,②代①,④代③,兩式相加即可得到結(jié)論;

3)延長(zhǎng)PQR,使得QR=PQ,連接RM,RN,依據(jù)四邊形NPMR是平行四邊形,利用結(jié)論MN2+PR2=2NP2+MP2),即可得出PQ的長(zhǎng).

解:(1)∵平行四邊形ABCD中,DEAB,BFCD

AD=CB,DE=BF,∠AED=CFB=90°

RtAEDRtCFB中,

,

RtAEDRtCFBHL),

AE=CF;

2)如圖(2),分別過(guò)A,DAEBCCB延長(zhǎng)線于EDFBCF

根據(jù)勾股定理可得:AC2=AE2+BE+BC 2 ①,AE2=AB2-BE2②,

BD2=DF2 +BC-CF2 ③,DF2=DC2-CF2 ④,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

AB=DC,

又∵AEBC,DFBC,

∴∠AEB=DFC=90°,AE=DF

RtAEBRtDFCHL),

BE=CF,而AB=DC

把②代①,④代③,可得:

AC2=AB2 -BE2 +BE+BC2

BD2=DC2 -CF2+BC-CF2

兩式相加,可得:AC2 +BD2=2AB2 +BC2);

3)如圖(3),延長(zhǎng)PQR,使得QR=PQ,連接RMRN,

PQ是△PMN的中線,

NQ=MQ,

∴四邊形NPMR是平行四邊形,

由(2)可得,MN2 +PR2=2NP2 +MP2),

又∵PM=11,PN=13,MN=10

102 +2PQ2=2132+112),

解得PQ=2

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